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Skalarprodukt

Index Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren im euklidischen Anschauungsraum hängt von der Länge der Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel ab. Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt, selten Punktprodukt) ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet.

66 Beziehungen: Additive Funktion, Adjungierte Matrix, Analysis, Analytische Geometrie, Arbeit (Physik), Basis (Vektorraum), Bilineare Abbildung, Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, Definitheit, Dirac-Notation, Duale Paarung, Ebene (Mathematik), Einheitsmatrix, Einheitsvektor, Euklidischer Raum, Flächeninhalt, Frobeniusnorm, Funktion (Mathematik), Gerd Fischer (Mathematiker), Gramsche Determinante, Hermitesche Matrix, Hermitesche Sesquilinearform, Hilbertraum, Homogene Funktion, Kartesisches Koordinatensystem, Komplexe Zahl, Konjugation (Mathematik), Koordinatenraum, Kosinussatz, Kraft, Kreuzprodukt, Lineare Algebra, Matrix (Mathematik), Matrizenmultiplikation, Matrizenraum, Norm (Mathematik), Orientierung (Mathematik), Orthogonalität, Orthonormalbasis, Parallelepiped, Parallelität (Geometrie), Parallelogramm, Physik, Physikalische Größe, Prähilbertraum, Quantenmechanik, Satz des Pythagoras, Semi-inneres Produkt, Sinus und Kosinus, Skalar (Mathematik), ..., Skalarmultiplikation, Skalarproduktnorm, Spatprodukt, Standardbasis, Standardskalarprodukt, Stetigkeit, Stumpfer Winkel, Symmetrische Funktion, Symmetrische Matrix, Transponierte Matrix, Vektor, Vektorraum, Verknüpfung (Mathematik), Vollständiger Raum, Volumen, Walter Rudin. Erweitern Sie Index (16 mehr) »

Additive Funktion

Eine additive, subadditive und superadditive Funktionen sind mathematische Objekte.

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Adjungierte Matrix

Die adjungierte Matrix (nicht zu verwechseln mit der Adjunkten), hermitesch transponierte Matrix oder transponiert-konjugierte Matrix ist in der Mathematik diejenige Matrix, die durch Transponierung und Konjugation einer gegebenen komplexen Matrix entsteht.

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Analysis

Die Analysis (analýein ‚auflösen‘) ist ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Grundlagen von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton als Infinitesimalrechnung unabhängig voneinander entwickelt wurden.

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Analytische Geometrie

Die analytische Geometrie (auch Vektorgeometrie) ist ein Teilgebiet der Geometrie, das algebraische Hilfsmittel (vor allem aus der linearen Algebra) zur Lösung geometrischer Probleme bereitstellt.

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Arbeit (Physik)

Arbeit (Formelzeichen W von) ist in der Physik die Energie, die durch Kräfte auf einen Körper übertragen wird.

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Basis (Vektorraum)

In der linearen Algebra ist eine Basis eine Teilmenge eines Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination darstellen lässt.

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Bilineare Abbildung

Im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra und verwandten Gebieten verallgemeinern die bilinearen Abbildungen die verschiedensten Begriffe von Produkten (im Sinne einer Multiplikation).

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Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, auch bekannt als Schwarzsche Ungleichung oder Cauchy-Bunjakowski-Schwarz-Ungleichung, ist eine Ungleichung, die in vielen Bereichen der Mathematik verwendet wird, z. B.

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Definitheit

Definitheit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra.

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Dirac-Notation

Die Dirac-Notation ist eine Notation von Zustandsvektoren, die in der Quantenmechanik verwendet wird.

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Duale Paarung

Die duale Paarung ist in der Mathematik eine Abbildung, die einem Vektor und einem linearen Funktional eine Zahl zuweist.

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Ebene (Mathematik)

Die 3 Koordinatenebenen Die Ebene ist ein Grundbegriff der Geometrie.

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Einheitsmatrix

Die Einheitsmatrix oder Identitätsmatrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, deren Hauptdiagonalelemente eins und deren Außerdiagonalelemente null sind.

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Einheitsvektor

Ein Einheitsvektor ist in der analytischen Geometrie ein Vektor der Länge Eins.

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Euklidischer Raum

In der Mathematik ist der euklidische Raum zunächst der „Raum unserer Anschauung“, wie er in Euklids Elementen durch Axiome und Postulate beschrieben wird (vgl. euklidische Geometrie).

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Flächeninhalt

Der Flächeninhalt ist ein Maß für die Größe einer Fläche.

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Frobeniusnorm

Die Frobeniusnorm oder Schurnorm (benannt nach Ferdinand Georg Frobenius bzw. Issai Schur) ist in der Mathematik eine auf der euklidischen Norm basierende Matrixnorm.

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Funktion (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, x-Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, y-Wert) zuordnet.

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Gerd Fischer (Mathematiker)

Gerd Fischer, Oberwolfach 2010 Gerd Fischer (* 3. Juni 1939 in Nürnberg) ist ein deutscher Mathematiker.

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Gramsche Determinante

Man kann in der Matrizenrechnung nur Determinanten von quadratischen Matrizen als Maß für die Volumenänderung ihrer Abbildung definieren.

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Hermitesche Matrix

Eine hermitesche Matrix ist in der Mathematik eine komplexe quadratische Matrix, die gleich ihrer adjungierten Matrix ist.

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Hermitesche Sesquilinearform

Als Hermitesches Produkt, Hermitesche Sesquilinearform oder einfach Hermitesche Form (nach Charles Hermite) bezeichnet man in der linearen Algebra eine besondere Art der Sesquilinearform ähnlich den symmetrischen Bilinearformen.

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Hilbertraum

Ein Hilbertraum (auch Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum), benannt nach dem deutschen Mathematiker David Hilbert, ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis.

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Homogene Funktion

Eine mathematische Funktion heißt homogen vom Grad r, wenn bei proportionaler Änderung aller Variablen um den Proportionalitätsfaktor \alpha sich der Funktionswert um den Faktor \alpha^r ändert.

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Kartesisches Koordinatensystem

Ein kartesisches Koordinatensystem ist ein orthogonales Koordinatensystem.

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Komplexe Zahl

Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass die Gleichung x^2 + 1.

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Konjugation (Mathematik)

komplexen Zahlenebene (Gaußsche Zahlenebene). Die komplexe Konjugierte \bar z.

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Koordinatenraum

Der Koordinatenraum in zwei reellen Dimensionen besteht aus allen Vektoren, die den Koordinatenursprung als Anfangspunkt besitzen Der Koordinatenraum, Standardraum oder Standardvektorraum ist in der Mathematik der Vektorraum der n-Tupel mit Komponenten aus einem gegebenen Körper versehen mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation.

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Kosinussatz

Der Kosinussatz ist ein elementarer Lehrsatz der Trigonometrie, eines der Teilgebiete der Mathematik.

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Kraft

Kraft ist ein grundlegender Begriff in der Physik.

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Kreuzprodukt

Kreuzprodukt Das Kreuzprodukt, auch Vektorprodukt, vektorielles Produkt, oder äußeres Produkt, ist eine Verknüpfung im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum, die zwei Vektoren wieder einen Vektor zuordnet.

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Lineare Algebra

Die lineare Algebra (auch Vektoralgebra) ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen diesen beschäftigt.

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Matrix (Mathematik)

Schema für eine allgemeine m\times n-Matrix Bezeichnungen In der Mathematik versteht man unter einer Matrix (Plural Matrizen) eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen (meist mathematischer Objekte, etwa Zahlen).

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Matrizenmultiplikation

Bei einer Matrizenmultiplikation muss die Spaltenzahl der ersten Matrix gleich der Zeilenzahl der zweiten Matrix sein. Die Ergebnismatrix hat dann die Zeilenzahl der ersten und die Spaltenzahl der zweiten Matrix. Die Matrizenmultiplikation oder Matrixmultiplikation ist in der Mathematik eine multiplikative Verknüpfung von Matrizen.

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Matrizenraum

Der Matrizenraum oder Raum der Matrizen ist in der Mathematik der Vektorraum der Matrizen fester Größe über einem gegebenen Körper mit der Matrizenaddition und der Skalarmultiplikation als innerer und äußerer Verknüpfung.

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Norm (Mathematik)

Mengen konstanter Norm (Normsphären) der Maximumsnorm (Würfeloberfläche) und der Summennorm (Oktaederoberfläche) von Vektoren in drei Dimensionen Eine Norm (von lateinisch norma „Richtschnur“) ist in der Mathematik eine Abbildung, die einem mathematischen Objekt, beispielsweise einem Vektor, einer Matrix, einer Folge oder einer Funktion, eine Zahl zuordnet, die auf gewisse Weise die Größe des Objekts beschreiben soll.

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Orientierung (Mathematik)

Die Orientierung ist ein Begriff aus der linearen Algebra und der Differentialgeometrie.

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Orthogonalität

Die beiden Strecken AB und CD sind orthogonal, da sie miteinander einen rechten Winkel bilden. Der Begriff Orthogonalität wird innerhalb der Mathematik in einer Reihe unterschiedlicher, aber verwandter Bedeutungen verwendet.

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Orthonormalbasis

Eine Orthonormalbasis (ONB) oder ein vollständiges Orthonormalsystem (VONS) ist in den mathematischen Gebieten lineare Algebra und Funktionalanalysis eine Menge von Vektoren aus einem Vektorraum mit Skalarprodukt (Innenproduktraum), welche auf die Länge eins normiert und zueinander orthogonal (daher Ortho-normal-basis) sind und deren lineare Hülle dicht im Vektorraum liegt.

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Parallelepiped

Unter einem Parallelepiped (von griechisch επίπεδον epipedon „Fläche“; Synonyme: Spat, Parallelflach, Parallelotop) versteht man einen geometrischen Körper, der von sechs paarweise kongruenten (deckungsgleichen) in parallelen Ebenen liegenden Parallelogrammen begrenzt wird.

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Parallelität (Geometrie)

In der euklidischen Geometrie definiert man: Zwei Geraden sind parallel, wenn sie in einer Ebene liegen und einander nicht schneiden.

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Parallelogramm

rechts Ein Parallelogramm (von griech. παραλληλό-γραμμος paralleló-grammos „von zwei Parallelenpaaren begrenzt“) oder Rhomboid (rautenähnlich) ist ein konvexes ebenes Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind.

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Physik

Verschiedene Beispiele physikalischer Phänomene Die Physik ist eine Naturwissenschaft, die grundlegende Phänomene der Natur untersucht.

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Physikalische Größe

Länge Masse durch Vergleich ihres Gewichts mit demjenigen von bekannten Gewichtsstücken Stoppuhr zur Messung der Zeit, Maßeinheit: Sekunde Strommesser zur Messung der Stromstärke, Maßeinheit: Ampere Thermometer zur Messung der Temperatur, Maßeinheit: Grad Celsius Eine physikalische Größe ist eine quantitativ bestimmbare Eigenschaft eines physikalischen Objektes, Vorgangs oder Zustands.

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Prähilbertraum

In der linearen Algebra und in der Funktionalanalysis wird ein reeller oder komplexer Vektorraum, auf dem ein inneres Produkt (Skalarprodukt) definiert ist, als Prähilbertraum (auch prähilbertscher Raum) oder Skalarproduktraum (auch Vektorraum mit innerem Produkt, vereinzelt auch Innenproduktraum) bezeichnet.

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Quantenmechanik

Die Quantenmechanik sichtbar gemacht: Rastertunnelmikroskopaufnahme von Kobaltatomen auf einer Kupferoberfläche. Das Messverfahren nutzt Effekte, die erst durch die Quantenmechanik erklärt werden können. Auch die Interpretation der beobachteten Strukturen beruht auf Konzepten der Quantenmechanik. Die Quantenmechanik ist eine Theorie der Physik, die Eigenschaften und Gesetzmäßigkeiten von Materie beschreibt.

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Satz des Pythagoras

Satz des Pythagoras Der Satz des Pythagoras ist einer der fundamentalen Sätze der euklidischen Geometrie.

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Semi-inneres Produkt

Das semi-innere Produkt ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis.

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Sinus und Kosinus

Sinus- und Kosinusfunktion (auch Cosinusfunktion) sind elementare mathematische Funktionen.

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Skalar (Mathematik)

Ein Skalar ist eine mathematische Größe, die allein durch die Angabe eines Zahlenwertes charakterisiert ist (in der Physik gegebenenfalls mit Einheit).

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Skalarmultiplikation

Skalarmultiplikation in der euklidischen Ebene: der Vektor w wird mit der Zahl 2 multipliziert und der Vektor v mit der Zahl -1 Die Skalarmultiplikation, auch S-Multiplikation oder skalare Multiplikation genannt, ist eine äußere zweistellige Verknüpfung zwischen einem Skalar und einem Vektor, die in der Definition von Vektorräumen gefordert wird.

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Skalarproduktnorm

Eine Skalarproduktnorm, Innenproduktnorm oder Hilbertnorm ist in der Mathematik eine von einem Skalarprodukt induzierte (abgeleitete) Norm.

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Spatprodukt

Spat, der von drei Vektoren aufgespannt wird Das Spatprodukt, auch gemischtes Produkt genannt, ist das Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren und einem dritten Vektor.

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Standardbasis

Als Standardbasis, natürliche Basis, Einheitsbasis oder kanonische Basis bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der Linearen Algebra eine spezielle Basis, die in gewissen Vektorräumen bereits aufgrund ihrer Konstruktion unter allen möglichen Basen ausgezeichnet ist.

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Standardskalarprodukt

Produkt eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor angesehen werden. Das Standardskalarprodukt oder kanonische Skalarprodukt (manchmal auch „euklidisches Skalarprodukt“ genannt) ist das in der Mathematik normalerweise verwendete Skalarprodukt auf den endlichdimensionalen reellen und komplexen Standard-Vektorräumen \R^n bzw.

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Stetigkeit

Die Stetigkeit (Kontinuität) ist ein Konzept der Mathematik, das vor allem in den Teilgebieten der Analysis und der Topologie von zentraler Bedeutung ist.

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Stumpfer Winkel

Einen Winkel \alpha nennt man stumpf, falls er größer als 90° und kleiner als 180° (im Gradmaß) ist, beziehungsweise wenn \pi/2 (im Bogenmaß) gilt.

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Symmetrische Funktion

Eine symmetrische Funktion ist in der Mathematik eine Funktion mehrerer Variablen, bei der die Variablen untereinander vertauscht werden können, ohne den Funktionswert zu verändern.

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Symmetrische Matrix

Symmetriemuster einer symmetrischen (5×5)-Matrix Eine symmetrische Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, deren Einträge spiegelsymmetrisch bezüglich der Hauptdiagonale sind.

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Transponierte Matrix

Animation zur Transponierung einer Matrix Die transponierte Matrix, gespiegelte Matrix oder gestürzte Matrix ist in der Mathematik diejenige Matrix, die durch Vertauschen der Rollen von Zeilen und Spalten einer gegebenen Matrix entsteht.

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Vektor

Im allgemeinen Sinn versteht man in der linearen Algebra unter einem Vektor (lat. vector „Träger, Fahrer“) ein Element eines Vektorraums, das heißt ein Objekt, das zu anderen Vektoren addiert und mit Zahlen, die als Skalare bezeichnet werden, multipliziert werden kann.

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Vektorraum

'''v''' + 2·'''w.''' Ein Vektorraum oder linearer Raum ist eine algebraische Struktur, die in vielen Teilgebieten der Mathematik verwendet wird.

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Verknüpfung (Mathematik)

In der Mathematik wird Verknüpfung als ein Oberbegriff gebraucht, um neben verschiedenen arithmetischen Rechenoperationen (wie Addition, Subtraktion usw.) auch geometrische Operationen (wie Spiegelung, Drehung u. a.) und weitere (gelegentlich auch logische) Operationen zu fassen.

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Vollständiger Raum

Ein vollständiger Raum ist in der Analysis ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge von Elementen des Raums konvergiert.

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Volumen

Das Volumen (Pl. Volumen oder Volumina; von lat. volumen „Windung, Krümmung“, aus volvere „wälzen, rollen“), auch: Raum- oder Kubikinhalt, ist der räumliche Inhalt eines geometrischen Körpers.

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Walter Rudin

Walter Rudin (* 2. Mai 1921 in Wien; † 20. Mai 2010) war ein US-amerikanischer Mathematiker, der sich mit Analysis beschäftigte.

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Leitet hier um:

Innenprodukt, Punktprodukt, Skalares Produkt, Summenprodukt.

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