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Vektorraum

Index Vektorraum

'''v''' + 2·'''w.''' Ein Vektorraum oder linearer Raum ist eine algebraische Struktur, die in vielen Teilgebieten der Mathematik verwendet wird.

89 Beziehungen: Abelsche Gruppe, Abgeschlossenheit (algebraische Struktur), Affiner Raum, Algebraische Struktur, Analysis, Assoziativgesetz, Auswahlaxiom, Äquivalenzrelation, Banachraum, Basis (Vektorraum), Bijektive Funktion, Bild (Mathematik), Bilineare Abbildung, Dimension (Mathematik), Direkte Summe, Distributivgesetz, Dreiecksungleichung, Euklidischer Raum, Faktorraum, Freier Modul, Funktion (Mathematik), Ganze Zahl, Ganzrationale Funktion, Geometrie, Geordnetes Paar, Glatte Funktion, Gleichmäßige Konvergenz, Grad (Polynom), Grenzwert (Folge), Gruppe (Mathematik), Gruppenoperation, Halbkörper, Hermitesche Sesquilinearform, Heterogene Algebra, Hilbertraum, Homomorphiesatz, Homomorphismus, Inverses Element, Isomorphismus, Kardinalzahl (Mathematik), Kartesisches Koordinatensystem, Kartesisches Produkt, Kategorientheorie, Körper (Algebra), Kern (Algebra), Kommutativgesetz, Komplexe Zahl, Koordinatensystem, Lemma von Zorn, Lineare Algebra, ..., Lineare Funktion, Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Linearkombination, Mathematik, Matrix (Mathematik), Mächtigkeit (Mathematik), Modul (Mathematik), Monom, Neutrales Element, Norm (Mathematik), Normierter Raum, Nullvektor, Nullvektorraum, Polynomring, Prähilbertraum, Reelle Zahl, Ring (Algebra), Schiefkörper, Skalar (Mathematik), Skalarmultiplikation, Skalarprodukt, Skelett (Kategorientheorie), Stetigkeit, Stetigkeit (Topologie), Teilgebiete der Mathematik, Topologischer Raum, Topologischer Ring, Topologischer Vektorraum, Tupel, Umkehrfunktion, Universelle Algebra, Unterraum, Untervektorraum, Vektor, Vektorbündel, Verträglichkeit (Mathematik), Vollständiger Raum, Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Erweitern Sie Index (39 mehr) »

Abelsche Gruppe

Eine abelsche Gruppe ist eine Gruppe, für die zusätzlich das Kommutativgesetz gilt.

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Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)

In der Mathematik, insbesondere der Algebra, versteht man unter Abgeschlossenheit einer Menge bezüglich einer Verknüpfung, dass die Verknüpfung beliebiger Elemente dieser Menge wieder ein Element der Menge ergibt.

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Affiner Raum

Der affine Raum, gelegentlich auch lineare Mannigfaltigkeit genannt, nimmt im systematischen Aufbau der Geometrie eine Mittelstellung zwischen Euklidischem Raum und Projektivem Raum ein.

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Algebraische Struktur

Der Begriff der algebraischen Struktur (oder universelle Algebra, allgemeine Algebra oder nur Algebra) ist ein Grundbegriff und zentraler Untersuchungsgegenstand des mathematischen Teilgebietes der universellen Algebra.

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Analysis

Die Analysis (analýein ‚auflösen‘) ist ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Grundlagen von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton als Infinitesimalrechnung unabhängig voneinander entwickelt wurden.

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Assoziativgesetz

Bei assoziativen Verknüpfungen ist das Endergebnis dasselbe, auch wenn die Operationen in unterschiedlicher Reihenfolge ausgeführt werden. Das Assoziativgesetz („vereinigen, verbinden, verknüpfen, vernetzen“), auf Deutsch Verknüpfungsgesetz oder auch Verbindungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik.

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Auswahlaxiom

Das Auswahlaxiom ist ein Axiom der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre.

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Äquivalenzrelation

Unter einer Äquivalenzrelation versteht man in der Mathematik eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

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Banachraum

Ein Banachraum (auch Banach-Raum, Banachscher Raum) ist in der Mathematik ein vollständiger normierter Vektorraum.

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Basis (Vektorraum)

In der linearen Algebra ist eine Basis eine Teilmenge eines Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination darstellen lässt.

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Bijektive Funktion

Funktion Bijektivität (zum Adjektiv bijektiv, welches etwa ‚umkehrbar eindeutig auf‘ bedeutet → daher auch der Begriff eineindeutig bzw. Eineindeutigkeit) ist ein mathematischer Begriff aus dem Bereich der Mengenlehre.

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Bild (Mathematik)

Das Bild dieser Funktion ist '''A, B, D''' Bei einer mathematischen Funktion f ist das Bild, die Bildmenge oder der Bildbereich einer Teilmenge M des Definitionsbereichs die Menge der Werte aus der Zielmenge Y, die f auf M tatsächlich annimmt.

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Bilineare Abbildung

Im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra und verwandten Gebieten verallgemeinern die bilinearen Abbildungen die verschiedensten Begriffe von Produkten (im Sinne einer Multiplikation).

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Dimension (Mathematik)

In der Mathematik wird mit der Dimension ein Konzept bezeichnet, das im Wesentlichen die Anzahl der Freiheitsgrade einer Bewegung/Position in einem bestimmten Raum bezeichnet.

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Direkte Summe

Der Begriff „direkte Summe“ bezeichnet in der Mathematik die äußere direkte Summe und die innere direkte Summe.

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Distributivgesetz

Die Distributivgesetze/Verteilungsgesetze (lat. distribuere „verteilen“) sind mathematische Regeln, die angeben, wie sich zwei zweistellige Verknüpfungen bei der Auflösung von Klammern zueinander verhalten, nämlich dass die eine Verknüpfung in einer bestimmten Weise mit der anderen Verknüpfung verträglich ist.

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Dreiecksungleichung

Die Dreiecksungleichung ist in der Geometrie ein Satz, der besagt, dass eine Dreiecksseite höchstens so lang wie die Summe der beiden anderen Seiten ist.

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Euklidischer Raum

In der Mathematik ist der euklidische Raum zunächst der „Raum unserer Anschauung“, wie er in Euklids Elementen durch Axiome und Postulate beschrieben wird (vgl. euklidische Geometrie).

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Faktorraum

Der Faktorraum (auch Quotientenraum) ist ein Begriff aus der linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik.

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Freier Modul

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist ein freier Modul ein Modul, der eine Basis besitzt.

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Funktion (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, x-Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, y-Wert) zuordnet.

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Ganze Zahl

Die ganzen Zahlen (auch Ganzzahlen, lat. numeri integri) sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen.

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Ganzrationale Funktion

Eine ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion ist in der Mathematik eine Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten.

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Geometrie

René Descartes, La Géometrie (Erstausgabe 1637) Die Geometrie (geometria (ionisch geometriē) ‚Erdmaß‘, ‚Erdmessung‘, ‚Landmessung‘) ist ein Teilgebiet der Mathematik.

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Geordnetes Paar

Ein geordnetes Paar, auch 2-Tupel genannt, ist in der Mathematik eine wichtige Art und Weise, zwei mathematische Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.

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Glatte Funktion

Eine glatte Funktion ist eine mathematische Funktion, die unendlich oft differenzierbar (insbesondere stetig) ist.

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Gleichmäßige Konvergenz

In der Analysis beschreibt gleichmäßige Konvergenz die Eigenschaft einer Funktionenfolge (f_n)_, mit einer vom Funktionsargument unabhängigen „Geschwindigkeit“ gegen eine Grenzfunktion f zu konvergieren.

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Grad (Polynom)

Der Grad eines Polynoms in einer Variablen ist in der Mathematik der größte Exponent in dessen Standarddarstellung als Summe von Monomen.

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Grenzwert (Folge)

Beispiel einer Folge, die im Unendlichen gegen einen Grenzwert strebt. Der Grenzwert oder Limes einer Folge ist eine Zahl, der die Folge beliebig nah kommt.

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Gruppe (Mathematik)

Die Drehungen eines Zauberwürfels bilden eine Gruppe. In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen.

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Gruppenoperation

In der Mathematik gehört zu einer Gruppenoperation, -aktion oder -wirkung eine Gruppe (G, *) als „aktiver“ Teil und eine Menge X als „passiver“ Teil.

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Halbkörper

In der Algebra, speziell der Ringtheorie bezeichnet ein Halbkörper die Spezialisierung eines Halbringes, in der die Multiplikation nicht nur eine Halbgruppe, sondern eine Gruppe bildet.

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Hermitesche Sesquilinearform

Als Hermitesches Produkt, Hermitesche Sesquilinearform oder einfach Hermitesche Form (nach Charles Hermite) bezeichnet man in der linearen Algebra eine besondere Art der Sesquilinearform ähnlich den symmetrischen Bilinearformen.

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Heterogene Algebra

Heterogene Algebren sind im mathematischen Teilgebiet der universellen Algebra untersuchte algebraische Strukturen und stellen in gewissem Sinn eine Verallgemeinerung von universellen Algebren (zu unterscheiden von der Disziplin) dar.

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Hilbertraum

Ein Hilbertraum (auch Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum), benannt nach dem deutschen Mathematiker David Hilbert, ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis.

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Homomorphiesatz

Der Homomorphiesatz ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der Algebra, der in entsprechender Form für Abbildungen zwischen Gruppen, Vektorräumen und Ringen gilt.

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Homomorphismus

Als Homomorphismus (zusammengesetzt aus ‚gleich‘ oder ‚ähnlich‘, und ‚Form‘; nicht zu verwechseln mit Homöomorphismus) werden in der Mathematik Abbildungen bezeichnet, die eine (oft algebraische) mathematische Struktur erhalten bzw.

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Inverses Element

In der Mathematik treten inverse Elemente bei der Untersuchung von algebraischen Strukturen auf.

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Isomorphismus

In der Mathematik ist ein Isomorphismus (von altgriechisch ἴσος (ísos) - „gleich“ und μορφή (morphḗ) - „Form“, „Gestalt“) eine Abbildung zwischen zwei mathematischen Strukturen, durch die Teile einer Struktur auf bedeutungsgleiche Teile einer anderen Struktur umkehrbar eindeutig (bijektiv) abgebildet werden.

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Kardinalzahl (Mathematik)

Kardinalzahlen (lat. cardo „Türangel“, „Dreh- und Angelpunkt“) sind in der Mathematik eine Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen zur Beschreibung der Mächtigkeit, auch Kardinalität, von Mengen.

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Kartesisches Koordinatensystem

Ein kartesisches Koordinatensystem ist ein orthogonales Koordinatensystem.

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Kartesisches Produkt

Das kartesische Produkt A \times B der beiden Mengen A.

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Kategorientheorie

Die Kategorientheorie oder die kategorielle Algebra ist ein Zweig der Mathematik, der Anfang der 1940er Jahre zuerst im Rahmen der Topologie entwickelt wurde; Saunders MacLane nennt seine 1945 in Zusammenarbeit mit Samuel Eilenberg entstandene „General Theory of Natural Equivalences“ (in Trans. Amer. Math. Soc. 58, 1945) die erste explizit kategorientheoretische Arbeit.

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Körper (Algebra)

Körper im Zusammenhang mit ausgewählten mathematischen Teilgebieten (Klassendiagramm) Ein Körper (englisch: field) ist im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine ausgezeichnete algebraische Struktur, in der die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division auf eine bestimmte Weise durchgeführt werden können.

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Kern (Algebra)

Der Kern einer Abbildung dient in der Algebra dazu, anzugeben, wie stark die Abbildung von der Injektivität abweicht.

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Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz (lat. commutare „vertauschen“), auf Deutsch Vertauschungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik.

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Komplexe Zahl

Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass die Gleichung x^2 + 1.

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Koordinatensystem

Ein Koordinatensystem (mathematisches Kürzel: KOS) dient zur eindeutigen Bezeichnung der Position von Punkten und Objekten in einem geometrischen Raum.

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Lemma von Zorn

Das Lemma von Zorn, auch bekannt als Lemma von Kuratowski-Zorn oder Zornsches Lemma, ist ein Theorem der Mengenlehre, genauer gesagt, der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, die das Auswahlaxiom einbezieht.

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Lineare Algebra

Die lineare Algebra (auch Vektoralgebra) ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen diesen beschäftigt.

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Lineare Funktion

Als lineare Funktion wird oft (insbesondere in der Schulmathematik) eine Funktion f\colon\R\to\R der Form also eine Polynomfunktion höchstens ersten Grades, bezeichnet.

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Lineare Hülle

Ein Vektor a und seine lineare Hülle \langle a \rangle. In der linearen Algebra ist die lineare Hülle (auch der Spann, Span, Aufspann oder AbschlussDietlinde Lau: Algebra und Diskrete Mathematik 1. Springer, ISBN 978-3-540-72364-6, Seite 162 genannt) einer Teilmenge A eines Vektorraums V über einem Körper K die Menge aller Linearkombinationen mit Vektoren aus A mit Skalaren aus K. Die lineare Hülle bildet einen Untervektorraum, der gleichzeitig der kleinste Untervektorraum ist, der A enthält.

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Lineare Unabhängigkeit

Linear ''unabhängige'' Vektoren in ℝ3 Linear ''abhängige'' Vektoren in einer Ebene in ℝ3 In der linearen Algebra wird eine Familie von Vektoren eines Vektorraums linear unabhängig genannt, wenn sich der Nullvektor nur durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt, in der alle Koeffizienten der Kombination auf den Wert null gesetzt werden.

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Linearkombination

Unter einer Linearkombination versteht man in der linearen Algebra einen Vektor, der sich durch gegebene Vektoren unter Verwendung der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation ausdrücken lässt.

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Mathematik

Die Mathematik (bundesdeutsches Hochdeutsch:,; österreichisches Hochdeutsch:; mathēmatikē téchnē ‚die Kunst des Lernens‘, ‚zum Lernen gehörig‘) ist eine Wissenschaft, welche aus der Untersuchung von geometrischen Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstand.

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Matrix (Mathematik)

Schema für eine allgemeine m\times n-Matrix Bezeichnungen In der Mathematik versteht man unter einer Matrix (Plural Matrizen) eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen (meist mathematischer Objekte, etwa Zahlen).

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Mächtigkeit (Mathematik)

In der Mathematik verwendet man den aus der Mengenlehre von Georg Cantor stammenden Begriff der Mächtigkeit oder Kardinalität, um den für endliche Mengen verwendeten Begriff der „Anzahl der Elemente einer Menge“ auf unendliche Mengen zu verallgemeinern.

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Modul (Mathematik)

Ein Modul (Maskulinum, Plural: Moduln, die Deklination ist ähnlich wie die von Konsul) ist eine algebraische Struktur, die eine Verallgemeinerung eines Vektorraums darstellt.

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Monom

In der Algebra ist ein Monom ein Polynom, das nur aus einem Glied besteht.

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Neutrales Element

Ein neutrales Element ist ein spezielles Element einer algebraischen Struktur.

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Norm (Mathematik)

Mengen konstanter Norm (Normsphären) der Maximumsnorm (Würfeloberfläche) und der Summennorm (Oktaederoberfläche) von Vektoren in drei Dimensionen Eine Norm (von lateinisch norma „Richtschnur“) ist in der Mathematik eine Abbildung, die einem mathematischen Objekt, beispielsweise einem Vektor, einer Matrix, einer Folge oder einer Funktion, eine Zahl zuordnet, die auf gewisse Weise die Größe des Objekts beschreiben soll.

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Normierter Raum

Ein normierter Raum oder normierter Vektorraum ist in der Mathematik ein Vektorraum, auf dem eine Norm definiert ist.

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Nullvektor

Der Nullvektor ist in der Mathematik ein spezieller Vektor eines Vektorraums, und zwar das eindeutig bestimmte neutrale Element bezüglich der Vektoraddition.

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Nullvektorraum

Der Nullvektorraum (auch Nullraum) ist in der Mathematik ein Vektorraum, der nur aus einem Vektor, dem Nullvektor, besteht.

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Polynomring

Wenn R ein kommutativer Ring mit einer 1 ist, dann ist der Polynomring R die Menge aller Polynome mit Koeffizienten aus dem Ring R und der Variablen X zusammen mit der üblichen Addition und Multiplikation von Polynomen.

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Prähilbertraum

In der linearen Algebra und in der Funktionalanalysis wird ein reeller oder komplexer Vektorraum, auf dem ein inneres Produkt (Skalarprodukt) definiert ist, als Prähilbertraum (auch prähilbertscher Raum) oder Skalarproduktraum (auch Vektorraum mit innerem Produkt, vereinzelt auch Innenproduktraum) bezeichnet.

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Reelle Zahl

Die reellen Zahlen bilden einen in der Mathematik bedeutenden Zahlenbereich.

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Ring (Algebra)

Ein Ring ist eine algebraische Struktur, in der, ähnlich wie in den ganzen Zahlen \mathbb, Addition und Multiplikation definiert und miteinander bezüglich Klammersetzung verträglich sind.

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Schiefkörper

Ein Schiefkörper oder Divisionsring ist eine algebraische Struktur, die alle Eigenschaften eines Körpers besitzt, außer dass die Multiplikation nicht notwendigerweise kommutativ ist.

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Skalar (Mathematik)

Ein Skalar ist eine mathematische Größe, die allein durch die Angabe eines Zahlenwertes charakterisiert ist (in der Physik gegebenenfalls mit Einheit).

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Skalarmultiplikation

Skalarmultiplikation in der euklidischen Ebene: der Vektor w wird mit der Zahl 2 multipliziert und der Vektor v mit der Zahl -1 Die Skalarmultiplikation, auch S-Multiplikation oder skalare Multiplikation genannt, ist eine äußere zweistellige Verknüpfung zwischen einem Skalar und einem Vektor, die in der Definition von Vektorräumen gefordert wird.

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Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren im euklidischen Anschauungsraum hängt von der Länge der Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel ab. Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt, selten Punktprodukt) ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet.

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Skelett (Kategorientheorie)

In der Kategorientheorie ist das Skelett einer Kategorie eine Unterkategorie, die keine überflüssigen Isomorphismen enthält.

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Stetigkeit

Die Stetigkeit (Kontinuität) ist ein Konzept der Mathematik, das vor allem in den Teilgebieten der Analysis und der Topologie von zentraler Bedeutung ist.

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Stetigkeit (Topologie)

In der Topologie bezeichnet man Funktionen oder Abbildungen als stetig, wenn diese bestimmte Morphismen zwischen topologischen Räumen sind, die die topologische Struktur in einem gewissen Sinne erhalten.

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Teilgebiete der Mathematik

Dieser Artikel dient dazu, einen Überblick über die Teilgebiete der Mathematik zu geben.

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Topologischer Raum

Beispiele und Gegenbeispiele zu Topologien – die sechs Abbildungen stellen Teilmengen der Potenzmenge von 1,2,3 dar (der kleine Kreis links oben ist jeweils die leere Menge). Die ersten vier sind Topologien; im Beispiel unten links fehlt 2,3, unten rechts 2 zur Topologie-Eigenschaft. Ein topologischer Raum ist der grundlegende Gegenstand der Teildisziplin Topologie der Mathematik.

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Topologischer Ring

In der Mathematik ist ein topologischer Ring ein Ring, welcher bezüglich der Addition eine topologische Gruppe ist und dessen Multiplikation in der gegebenen Topologie ebenfalls stetig ist.

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Topologischer Vektorraum

Ein topologischer Vektorraum ist ein Vektorraum, auf dem neben seiner algebraischen auch noch eine damit verträgliche topologische Struktur definiert ist.

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Tupel

Tupel (abgetrennt von mittellat. quintuplus ‚fünffach‘, septuplus ‚siebenfach‘, centuplus ‚hundertfach‘ etc.) sind in der Mathematik neben Mengen eine wichtige Art und Weise, mathematische Objekte zusammenzufassen.

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Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion Die Umkehrfunktion oder inverse Funktion einer bijektiven Funktion ist die Funktion, die jedem Element der Zielmenge sein eindeutig bestimmtes Urbildelement zuweist.

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Universelle Algebra

Die universelle Algebra (auch allgemeine Algebra) ist ein Teilgebiet der Mathematik, genauer der Algebra, das sich mit allgemeinen algebraischen Strukturen und ihren Homomorphismen sowie gewissen Verallgemeinerungen befasst.

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Unterraum

Als Raum bezeichnet man in der Mathematik eine Menge F versehen mit einer mathematischen Struktur.

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Untervektorraum

Im dreidimensionalen euklidischen Raum bilden alle Ursprungsebenen und Ursprungsgeraden Untervektorräume. Ein Untervektorraum, Teilvektorraum, linearer Unterraum oder linearer Teilraum ist in der Mathematik eine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst wieder einen Vektorraum darstellt.

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Vektor

Im allgemeinen Sinn versteht man in der linearen Algebra unter einem Vektor (lat. vector „Träger, Fahrer“) ein Element eines Vektorraums, das heißt ein Objekt, das zu anderen Vektoren addiert und mit Zahlen, die als Skalare bezeichnet werden, multipliziert werden kann.

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Vektorbündel

Tangentialräume. Die zweite Grafik fasst die Tangentialräume zum Tangentialbündel, einem besonderen Vektorbündel zusammen. Vektorbündel (oder manchmal ausführlicher Vektorraumbündel) sind Familien von Vektorräumen, die durch die Punkte eines topologischen Raumes parametrisiert sind.

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Verträglichkeit (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Abbildung zwischen zwei Mengen, die nicht verschieden sein müssen und die Strukturen der gleichen Art besitzen, dann mit deren Strukturen verträglich, ein Homomorphismus oder ein (konkreter) Morphismus, wenn sie die Elemente aus der einen Menge so in die andere Menge abbildet, dass sich ihre Bilder dort hinsichtlich der Relationen sowie Abbildungen der Struktur ebenso verhalten, wie sich deren Urbilder in der Ausgangsstruktur verhalten.

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Vollständiger Raum

Ein vollständiger Raum ist in der Analysis ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge von Elementen des Raums konvergiert.

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Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist eine verbreitete axiomatische Mengenlehre, die nach Ernst Zermelo und Abraham Adolf Fraenkel benannt ist.

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Leitet hier um:

Komplexer Vektorraum, Polynomraum, Reeller Vektorraum, Vektorraumaxiome.

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