Homotopie und Mannigfaltigkeit

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Unterschied zwischen Homotopie und Mannigfaltigkeit

Homotopie vs. Mannigfaltigkeit

Eine Homotopie, die eine Kaffeetasse in einen Donut (einen Volltorus) überführt. In der Topologie ist eine Homotopie (von ‚gleich‘ und τόπος tópos ‚Ort‘, ‚Platz‘) eine stetige Deformation zwischen zwei Abbildungen von einem topologischen Raum in einen anderen, beispielsweise die Deformation einer Kurve in eine andere Kurve. Die Sphäre kann mit mehreren Abbildungen „plattgedrückt“ werden. Entsprechend kann die Erdoberfläche in einem Atlas dargestellt werden. Unter einer Mannigfaltigkeit versteht man in der Mathematik einen topologischen Raum, der lokal dem euklidischen Raum \mathbb^n gleicht.

Algebraische Topologie

Die algebraische Topologie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das topologische Räume (oder auch Lagebeziehungen im Raum wie zum Beispiel in der Knotentheorie) mit Hilfe von algebraischen Strukturen untersucht.

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Äquivalenzrelation

Unter einer Äquivalenzrelation versteht man in der Mathematik eine zweistellige Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

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Diffeomorphismus

In der Mathematik, insbesondere in den Gebieten Analysis, Differentialgeometrie und Differentialtopologie, ist ein Diffeomorphismus eine bijektive, stetig differenzierbare Abbildung, deren Umkehrabbildung auch stetig differenzierbar ist.

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Fundamentalgruppe

Die Fundamentalgruppe dient in der algebraischen Topologie zur Untersuchung geometrischer Objekte beziehungsweise topologischer Räume.

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Gruppe (Mathematik)

Die Drehungen eines Zauberwürfels bilden eine Gruppe. In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen.

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Homöomorphismus

Cantor-Räumen. Homöomorphismus vom 3^\omega in den 2^\omega. Die Farben deuten an, wie Teilräume von Folgen mit einem gemeinsamen Präfix aufeinander abgebildet werden. Ein Homöomorphismus (von oder homoios „ähnlich, gleichartig“ und morphé „Form, Gestalt“; zuweilen fälschlicherweise auch Homeomorphismus in Anlehnung an den englischen Begriff homeomorphism, keinesfalls aber zu verwechseln mit Homomorphismus) ist ein zentraler Begriff im mathematischen Teilgebiet Topologie.

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Invariante (Mathematik)

In der Mathematik versteht man unter einer Invariante eine mit einem Objekt assoziierte Größe, die sich bei einer jeweils passenden Klasse von Modifikationen des Objektes nicht ändert.

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Kurve (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Kurve (von „gebogen, gekrümmt“) ein eindimensionales Objekt.

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Topologischer Raum

Beispiele und Gegenbeispiele zu Topologien – die sechs Abbildungen stellen Teilmengen der Potenzmenge von 1,2,3 dar (der kleine Kreis links oben ist jeweils die leere Menge). Die ersten vier sind Topologien; im Beispiel unten links fehlt 2,3, unten rechts 2 zur Topologie-Eigenschaft. Ein topologischer Raum ist der grundlegende Gegenstand der Teildisziplin Topologie der Mathematik.

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Zusammenhängender Raum

Zusammenhängende und nicht zusammenhängende Unterräume von ℝ²: ''A'' ist einfach zusammenhängend, ''B'' (das gesamte Blaue) ist unzusammenhängend. Die Komplemente von ''A'' und ''B'' sind zusammenhängend, aber nicht einfach zusammenhängend. In der mathematischen Topologie gibt es verschiedene Begriffe, die die Art und Weise des Zusammenhangs eines topologischen Raumes beschreiben.

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