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Kompakter Raum

Index Kompakter Raum

Kompaktheit ist ein zentraler Begriff der mathematischen Topologie, und zwar eine Eigenschaft, die einem topologischen Raum zukommt oder nicht.

87 Beziehungen: Abgeschlossene Menge, Abzählbar kompakter Raum, Abzählbarkeitsaxiom, Alexandroff-Kompaktifizierung, Andrei Nikolajewitsch Tichonow, Auswahlaxiom, Überdeckung (Mathematik), Banachraum, Beschränkte Menge, Bijektive Funktion, Bild (Mathematik), Boolesche Algebra, Boto von Querenburg, Cantor-Menge, Dichte Teilmenge, Diskrete Topologie, Eberlein-kompakter Raum, Euklidischer Raum, Extremwert, Filter (Mathematik), Filterkonvergenz, Folge (Mathematik), Folgenkompaktheit, Funktionalanalysis, Gleichmäßige Stetigkeit, Grenzwert (Folge), Hausdorff-Raum, Häufungspunkt, Hilbertraum, Homöomorphismus, Infimum und Supremum, Intervall (Mathematik), Isomorphismus, Kompaktheitskriterium von James, Kompaktifizierung, Komplexe Zahl, Konvergenz (Mathematik), Kugel, Lebesguezahl, Lindelöf-Raum, Linearer Operator, Lokalkompakter Raum, Lp-Raum, Maurice René Fréchet, Metrischer Raum, Netz (Topologie), Nicolas Bourbaki, Normaler Raum, Normierter Raum, Omega-beschränkter Raum, ..., Ordinalzahl, Parakompakter Raum, Pawel Samuilowitsch Urysohn, Pawel Sergejewitsch Alexandrow, Produkttopologie, Reelle Zahl, Relativ kompakte Teilmenge, Ring (Algebra), Satz von Alexander (mengentheoretische Topologie), Satz von Arzelà-Ascoli, Satz von Banach-Alaoglu, Satz von Bolzano-Weierstraß, Satz von Heine, Satz von Heine-Borel, Satz von Kolmogorow-Riesz, Satz von Tychonoff, Schwach folgenkompakte Menge, Schwache Topologie, Sphäre (Mathematik), Standardskalarprodukt, Stetige Funktion, Steven Gaal, Subbasis, Teilmenge, Teilraumtopologie, Topologie (Mathematik), Topologischer Raum, Totalbeschränktheit, Ultrafilter, Ultrametrik, Umgebung (Mathematik), Uniformer Raum, Vollständig regulärer Raum, Vollständige algebraische Varietät, Vollständiger Raum, Winfried Kaballo, Zariski-Topologie. Erweitern Sie Index (37 mehr) »

Abgeschlossene Menge

In dem Teilgebiet Topologie der Mathematik ist eine abgeschlossene Menge eine Teilmenge eines topologischen Raums, deren Komplement eine offene Menge ist.

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Abzählbar kompakter Raum

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie bezeichnet die abzählbare Kompaktheit eine Abschwächung des für die Theorie topologischer Räume zentralen Begriffs der Kompaktheit.

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Abzählbarkeitsaxiom

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie gibt es zwei Endlichkeitsbedingungen an die betrachteten Räume, die als erstes bzw.

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Alexandroff-Kompaktifizierung

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie bezeichnet die Alexandroff-Kompaktifizierung (auch Einpunkt-Kompaktifizierung) eine Einbettung eines nicht kompakten topologischen Raumes in einen kompakten topologischen Raum durch Hinzunahme eines einzelnen Punktes.

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Andrei Nikolajewitsch Tichonow

Tichonow (1975) Andrei Nikolajewitsch Tichonow (wiss. Transliteration Andrej Nikolaevič Tichonov; englische Transliteration Andrei Tikhonov; * in Gschatsk; † 7. November 1993 in Moskau) war ein russischer Mathematiker.

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Auswahlaxiom

Das Auswahlaxiom ist ein Axiom der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre.

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Überdeckung (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Überdeckung ein grundlegendes Konzept aus der Mengenlehre.

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Banachraum

Ein Banachraum (auch Banach-Raum, Banachscher Raum) ist in der Mathematik ein vollständiger normierter Vektorraum.

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Beschränkte Menge

Eine beschränkte Menge mit oberen und unteren Schranken. Eine nach oben beschränkte Menge mit Supremum. Beschränkte Mengen werden in verschiedenen Bereichen der Mathematik betrachtet.

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Bijektive Funktion

Funktion Bijektivität (zum Adjektiv bijektiv, welches etwa ‚umkehrbar eindeutig auf‘ bedeutet – daher auch der Begriff eineindeutig bzw. substantivisch entsprechend Eineindeutigkeit) ist ein mathematischer Begriff aus dem Bereich der Mengenlehre.

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Bild (Mathematik)

Das Bild dieser Funktion ist '''A, B, D''' Bei einer mathematischen Funktion f ist das Bild, die Bildmenge oder der Bildbereich einer Teilmenge M des Definitionsbereichs die Menge der Werte aus der Zielmenge Y, die f auf M tatsächlich annimmt.

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Boolesche Algebra

Venn-Diagramme für Konjunktion, Disjunktion und Ergänzung In der Mathematik ist eine boolesche Algebra (oder ein boolescher Verband) eine spezielle algebraische Struktur, die die Eigenschaften der logischen Operatoren UND, ODER, NICHT sowie die Eigenschaften der mengentheoretischen Verknüpfungen Durchschnitt, Vereinigung, Komplement verallgemeinert.

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Boto von Querenburg

Boto von Querenburg ist ein Autorenkollektiv mehrerer Mathematiker, von denen die meisten am Mathematischen Institut der Ruhr-Universität Bochum gearbeitet haben.

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Cantor-Menge

Unter der Cantor-Menge, Cantormenge, auch cantorsches Diskontinuum, Cantor-Staub oder Wischmenge genannt, versteht man in der Mathematik eine bestimmte Teilmenge der Menge der reellen Zahlen mit besonderen topologischen, maßtheoretischen, geometrischen und mengentheoretischen Eigenschaften: Sie ist.

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Dichte Teilmenge

Im mathematischen Fachgebiet Topologie ist eine dichte Teilmenge eines metrischen oder topologischen Raumes eine Teilmenge dieses Raumes mit besonderen Eigenschaften.

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Diskrete Topologie

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist ein topologischer Raum diskret, wenn alle Punkte isoliert sind, d. h. wenn in einer hinreichend kleinen Umgebung des Punktes keine weiteren Punkte liegen.

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Eberlein-kompakter Raum

Eberlein-kompakte Räume, benannt nach William Frederick Eberlein, werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht.

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Euklidischer Raum

In der Mathematik ist der euklidische Raum zunächst der „Raum unserer Anschauung“ (Anschauungsraum), wie er in Euklids Elementen durch Axiome und Postulate beschrieben wird (vgl. euklidische Geometrie).

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Extremwert

Minima und Maxima der Funktion cos(3π''x'')/''x'' im Bereich 0.1≤'' x ''≤1.1 In der Mathematik ist Extremwert (oder Extremum; Plural: Extrema) der Oberbegriff für ein lokales oder globales Maximum oder Minimum.

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Filter (Mathematik)

In der Mathematik ist ein Filter eine nichtleere nach unten gerichtete Oberhalb-Menge innerhalb einer umgebenden halbgeordneten Menge.

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Filterkonvergenz

Die Filterkonvergenz ist ein Konvergenzbegriff in der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik.

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Folge (Mathematik)

Als Folge oder Sequenz wird in der Mathematik eine Auflistung (Familie) von endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten (beispielsweise Zahlen) bezeichnet.

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Folgenkompaktheit

In der Mathematik ist ein topologischer Raum folgenkompakt, wenn jede Folge eine konvergente Teilfolge besitzt.

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Funktionalanalysis

Die Funktionalanalysis ist der Zweig der Mathematik, der sich mit der Untersuchung von unendlichdimensionalen topologischen Vektorräumen und Abbildungen auf solchen befasst.

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Gleichmäßige Stetigkeit

Bei gleichmäßig stetigen Funktionen kann um jeden Punkt des Graphen ein Rechteck mit Höhe 2\varepsilon und Breite 2\delta eingezeichnet werden, ohne dass der Graph direkt ober-/unterhalb des Rechtecks liegt. Die Funktion g(x).

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Grenzwert (Folge)

Beispiel einer Folge, die im Unendlichen gegen einen Grenzwert strebt Der Grenzwert oder Limes einer Folge von Zahlen ist eine Zahl, der die Folgenglieder beliebig nahekommen und zwar so, dass in jeder Umgebung des Grenzwerts fast alle Folgenglieder liegen.

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Hausdorff-Raum

Zwei Punkte, die durch Umgebungen getrennt werden. Ein Hausdorff-Raum (auch hausdorffscher Raum oder Hausdorffraum; nach Felix Hausdorff) oder separierter Raum ist ein topologischer Raum M, in dem das Trennungsaxiom T_2 (auch Hausdorffeigenschaft oder hausdorffsches Trennungsaxiom genannt) gilt.

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Häufungspunkt

In der Analysis ist ein Häufungspunkt einer Menge anschaulich ein Punkt, der unendlich viele Punkte der Menge in seiner Nähe hat.

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Hilbertraum

Im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist ein Hilbertraum (Hilbert‧raum, auch Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum), benannt nach dem deutschen Mathematiker David Hilbert, ein Vektorraum über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen, versehen mit einem Skalarprodukt – und damit Winkel- und Längenbegriffen –, der vollständig bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten Norm (des Längenbegriffs) ist.

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Homöomorphismus

Cantor-Räumen. Homöomorphismus vom 3^\omega in den 2^\omega. Die Farben deuten an, wie Teilräume von Folgen mit einem gemeinsamen Präfix aufeinander abgebildet werden. Ein Homöomorphismus (von oder homoios „ähnlich, gleichartig“ und morphé „Form, Gestalt“; zuweilen fälschlicherweise auch Homeomorphismus in Anlehnung an den englischen Begriff homeomorphism, keinesfalls aber zu verwechseln mit Homomorphismus) ist ein zentraler Begriff im mathematischen Teilgebiet Topologie.

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Infimum und Supremum

Die Bildmenge der abgebildeten Funktion ist beschränkt, damit ist auch die Funktion beschränkt. In der Mathematik treten die Begriffe Supremum und Infimum sowie kleinste obere Schranke bzw.

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Intervall (Mathematik)

Als Intervall wird in der Analysis, der Ordnungstopologie und verwandten Gebieten der Mathematik eine „zusammenhängende“ Teilmenge einer total (oder linear) geordneten Trägermenge (zum Beispiel der Menge der reellen Zahlen \R) bezeichnet.

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Isomorphismus

In der Mathematik ist ein Isomorphismus (von altgriechisch ἴσος (ísos) – „gleich“ und μορφή (morphḗ) – „Form“, „Gestalt“) eine Abbildung zwischen zwei mathematischen Strukturen, durch die Teile einer Struktur auf bedeutungsgleiche Teile einer anderen Struktur umkehrbar eindeutig (bijektiv) abgebildet werden.

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Kompaktheitskriterium von James

Das Kompaktheitskriterium von James (nach Robert C. James) ist ein mathematischer Satz aus dem Teilgebiet der Funktionalanalysis.

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Kompaktifizierung

Kompaktifizierung ist ein Oberbegriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie.

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Komplexe Zahl

natürlichen Zahlen \N gehören. Die komplexen Zahlen stellen eine Erweiterung der reellen Zahlen dar.

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Konvergenz (Mathematik)

In der Mathematik ist Konvergenz ein Meta-Konzept, das allgemein die Annäherung einer unendlichen, geordneten Struktur von Objekten an ein Ziel-Objekt ausdrückt.

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Kugel

Längen- und Breitenkreisen Eine Kugel ist in der Geometrie die Kurzbezeichnung für Kugelfläche bzw.

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Lebesguezahl

Eine Lebesguezahl ist eine (nicht eindeutige) Zahl, die man einer offenen Überdeckung eines kompakten metrischen Raums zuordnen kann.

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Lindelöf-Raum

Ein Lindelöf-Raum ist ein mathematisches Objekt aus der mengentheoretischen Topologie.

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Linearer Operator

Der Begriff linearer Operator wurde in der Funktionalanalysis (einem Teilgebiet der Mathematik) eingeführt und ist synonym zum Begriff der linearen Abbildung.

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Lokalkompakter Raum

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie sind die lokalkompakten Räume (auch lokal kompakten Räume) eine Klasse topologischer Räume, die eine gewisse lokale Endlichkeitsbedingung erfüllen.

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Lp-Raum

Die L^p-Räume, auch Lebesgue-Räume, sind in der Mathematik spezielle Räume, die aus allen p-fach integrierbaren Funktionen bestehen.

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Maurice René Fréchet

Maurice René Fréchet Maurice René Fréchet (* 2. September 1878 in Maligny, Département Yonne; † 4. Juni 1973 in Paris) war ein französischer Mathematiker, der grundlegende Arbeiten in der Funktionalanalysis verfasste.

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Metrischer Raum

Eine Metrik (auch Abstandsfunktion) ist in der Mathematik eine Funktion, die je zwei Elementen (auch Punkte genannt) einer Menge (auch Raum genannt) einen nichtnegativen reellen Wert zuordnet.

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Netz (Topologie)

Ein Netz oder eine Moore-Smith-Folge stellt in der Topologie (einem Teilgebiet der Mathematik) eine Verallgemeinerung einer Folge dar.

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Nicolas Bourbaki

Buchcover, Ausgabe 1970 Nicolas Bourbaki ist das kollektive Pseudonym einer Gruppe (Autorenkollektiv) vorwiegend französischer Mathematiker, die seit 1934 an einem vielbändigen Lehrbuch der Mathematik in französischer Sprache – den Éléments de mathématique – arbeitete und mehrmals jährlich an verschiedenen Orten Frankreichs in Seminaren ihr gemeinsames Buchprojekt vorantrieb.

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Normaler Raum

Hinweis: Es gibt in der Standardliteratur keine einheitliche Auffassung hinsichtlich der Begriffe normaler Raum und T4-Raum; vielmehr herrscht Uneinheitlichkeit.

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Normierter Raum

Ein normierter Raum oder normierter Vektorraum ist in der Mathematik ein Vektorraum, auf dem eine Norm definiert ist.

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Omega-beschränkter Raum

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie bezeichnet die \omega-Beschränktheit eine Abschwächung des für die Theorie topologischer Räume zentralen Begriffs der Kompaktheit.

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Ordinalzahl

Ordinalzahlen von 0 bis ωω Ordinalzahlen sind mathematische Objekte, die das Konzept der Position oder des Index eines Elementes in einer Folge auf Wohlordnungen über beliebigen Mengen verallgemeinern.

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Parakompakter Raum

Parakompaktheit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie.

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Pawel Samuilowitsch Urysohn

Pawel Urysohn Pawel Samuilowitsch Urysohn, russisch Павел Самуилович Урысон, deutsch auch Paul Urysohn (* in Odessa, heute Ukraine; † 17. August 1924 in Batz-sur-Mer, Frankreich) war ein russischer Mathematiker, der sich vor allem mit mengentheoretischer Topologie befasste.

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Pawel Sergejewitsch Alexandrow

Pawel Sergejewitsch Alexandrow Pawel Sergejewitsch Alexandrow (englisch Alexandrov, deutsch auch Paul Alexandroff; * in Bogorodsk; † 16. November 1982 in Moskau) war ein sowjetischer Mathematiker, der sich hauptsächlich mit Topologie befasste.

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Produkttopologie

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist die Produkttopologie die „natürlichste“ Topologie, die ein kartesisches Produkt von topologischen Räumen selbst zu einem topologischen Raum macht.

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Reelle Zahl

natürlichen Zahlen (ℕ) gehören Die reellen Zahlen bilden einen in der Mathematik bedeutenden Zahlenbereich.

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Relativ kompakte Teilmenge

Eine relativ kompakte Teilmenge (oder präkompakte Teilmenge) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie.

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Ring (Algebra)

Ein Ring ist eine algebraische Struktur, in der, wie z. B.

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Satz von Alexander (mengentheoretische Topologie)

Der Satz von Alexander ist ein mathematischer Satz in der mengentheoretischen Topologie.

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Satz von Arzelà-Ascoli

Der Satz von Arzelà-Ascoli, benannt nach Cesare Arzelà (1847–1912) in Erweiterung eines Satzes von Giulio Ascoli (1843–1896), ist ein wichtiger Satz in der Funktionalanalysis.

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Satz von Banach-Alaoglu

Der Satz von Banach-Alaoglu (auch Satz von Alaoglu oder Satz von Alaoglu-Bourbaki bzw. in einer allgemeineren Version Satz von Banach-Alaoglu-Bourbaki) ist ein Kompaktheitssatz und wird im Allgemeinen dem Gebiet der Funktionalanalysis zugeordnet, obwohl er eine rein topologische Aussage enthält und im Wesentlichen aus dem Satz von Tychonoff folgt.

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Satz von Bolzano-Weierstraß

Der Satz von Bolzano-Weierstraß (nach Bernard Bolzano und Karl Weierstraß) ist ein Satz der Analysis über die Existenz konvergenter Teilfolgen.

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Satz von Heine

Der Satz von Heine (nach Eduard Heine; oder auch Satz von Heine-Cantor) aus der reellen Analysis macht eine Aussage über stetige Funktionen.

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Satz von Heine-Borel

Der Satz von Heine-Borel, auch Überdeckungssatz genannt, nach den Mathematikern Eduard Heine (1821–1881) und Émile Borel (1871–1956) benannt, ist ein Satz der Topologie metrischer Räume.

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Satz von Kolmogorow-Riesz

Der Satz von Kolmogorow-Riesz (nach Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow und Marcel Riesz) ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis, der ein Kompaktheitskriterium für Teilmengen von Lp-Räumen darstellt.

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Satz von Tychonoff

Der Satz von Tychonoff (nach Andrei Nikolajewitsch Tichonow) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie.

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Schwach folgenkompakte Menge

Der Begriff der schwach folgenkompakten Menge und der schwach* folgenkompakten Menge ist ein Begriff aus der Topologie, einem Teilbereich der Mathematik.

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Schwache Topologie

Die schwache Topologie ist eine spezielle Topologie und im Grenzgebiet der beiden mathematischen Teilgebiete der Topologie und Funktionalanalysis anzusiedeln.

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Sphäre (Mathematik)

2-Sphäre Unter einer Sphäre (wie althochdeutsch spera von griechisch sphaira „Ball, Kugel, Himmelskugel“) versteht man in der Mathematik die Oberfläche einer Kugel und die Verallgemeinerung davon auf beliebig hohe Dimensionen.

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Standardskalarprodukt

Produkt eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor angesehen werden. Das Standardskalarprodukt oder kanonische Skalarprodukt (manchmal auch „euklidisches Skalarprodukt“ genannt) ist das in der Mathematik normalerweise verwendete Skalarprodukt auf den endlichdimensionalen reellen und komplexen Standard-Vektorräumen \R^n bzw.

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Stetige Funktion

In der Mathematik ist eine stetige Abbildung oder stetige Funktion eine Funktion, bei der hinreichend kleine Änderungen des Arguments nur beliebig kleine Änderungen des Funktionswerts nach sich ziehen.

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Steven Gaal

Steven Alexander Gaal, geboren als István Sándor Gál, (* 22. Februar 1924 in Budapest; † 17. März 2016) war ein ungarisch-US-amerikanischer Mathematiker, der sich mit Analysis und Zahlentheorie befasste.

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Subbasis

Eine Subbasis ist in der mathematischen Grundlagendisziplin der mengentheoretischen Topologie ein spezielles Mengensystem von offenen Mengen.

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Teilmenge

Mengendiagramm: ''A'' ist eine (echte) Teilmenge von ''B''. Die mathematischen Begriffe Teilmenge und Obermenge beschreiben eine Beziehung zwischen zwei Mengen.

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Teilraumtopologie

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie versteht man unter der Teilraumtopologie (auch induzierten Topologie, relativen Topologie, Spurtopologie oder Unterraumtopologie) die natürliche Struktur, die eine Teilmenge eines topologischen Raumes „erbt“.

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Topologie (Mathematik)

Tasse und Volltorus sind zueinander homöomorph. ''Anmerkung'': Ein Homöomorphismus ist eine direkte Abbildung zwischen den Punkten der Tasse und des Volltorus, die Zwischenstufen im zeitlichen Verlauf dienen nur der Illustration der Stetigkeit dieser Abbildung. Die Topologie (von „Ort, Platz, Stelle“ und -logie) ist die Lehre von der Lage und Anordnung geometrischer Gebilde im Raum und damit ein fundamentales Teilgebiet der Mathematik.

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Topologischer Raum

Beispiele und Gegenbeispiele zu Topologien – die sechs Abbildungen stellen Teilmengen der Potenzmenge von 1,2,3 dar (der kleine Kreis links oben ist jeweils die leere Menge). Die ersten vier sind Topologien; im Beispiel unten links fehlt 2,3, unten rechts 2 zur Topologie-Eigenschaft. Ein topologischer Raum ist der grundlegende Gegenstand der Teildisziplin Topologie der Mathematik.

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Totalbeschränktheit

Der Begriff der Totalbeschränktheit (oder Präkompaktheit) benennt eine bestimmte Beschränktheitseigenschaft eines metrischen Raums.

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Ultrafilter

Ein Ultrafilter ist in der Mathematik ein Mengenfilter auf einer Menge X, so dass für jede Teilmenge A von X entweder A selbst oder ihr Komplement X \setminus A Element des Mengenfilters ist.

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Ultrametrik

In Analysis und Topologie bezeichnet man als Ultrametrik eine Metrik d \colon S\times S\to \mathbb auf einer Menge S, welche die Metrik-Axiome.

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Umgebung (Mathematik)

Eine Epsilon-Umgebung (\varepsilon) um die Zahl a, eingezeichnet auf der Zahlengeraden. Umgebung ist ein Begriff der Mathematik aus der Topologie, der in vielen Teilgebieten gebraucht wird.

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Uniformer Raum

Uniforme Räume sind im Teilgebiet Topologie der Mathematik Verallgemeinerungen metrischer Räume.

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Vollständig regulärer Raum

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie versteht man unter einem vollständig regulären Raum einen topologischen Raum mit speziellen Trennungseigenschaften.

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Vollständige algebraische Varietät

Eine vollständige algebraische Varietät ist in der algebraischen Geometrie das Analogon zu einer kompakten Mannigfaltigkeit in der Differentialgeometrie.

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Vollständiger Raum

Ein vollständiger Raum ist in der Analysis ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge von Elementen des Raums konvergiert.

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Winfried Kaballo

Winfried Kaballo (* 24. April 1952 in Koblenz-Horchheim) ist ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer an der Technischen Universität Dortmund.

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Zariski-Topologie

Die Zariski-Topologie ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Geometrie.

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Leitet hier um:

Kompakte Menge, Kompaktum, Pseudokompakt, Quasi-kompakt, Quasikompakt, Quasikompaktheit, Überdeckungskompakt, Überdeckungskompaktheit.

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