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39 Beziehungen: Affiner Raum, Bergsteigeralgorithmus, Cornelius Lanczos, Dünnbesetzte Matrix, Definitheit, Dimension (Mathematik), Eduard Stiefel, Eigenwerte und Eigenvektoren, Gradient (Mathematik), Gradientenverfahren, Hauptdiagonale, Henk van der Vorst, ILU-Zerlegung, Iteration, Jacobi-Verfahren, Kondition (Mathematik), Konjugation (Mathematik), Krylow-Unterraum-Verfahren, Krylowraum, Lanczos-Verfahren, Lineares Gleichungssystem, Magnus Hestenes, Matrix-Vektor-Produkt, Matrizenmultiplikation, Methode der kleinsten Quadrate, Michael J. D. Powell, Norm (Mathematik), Numerische Mathematik, Polynom, Quadratische Form, Reguläre Matrix, Residuum (numerische Mathematik), Roger Fletcher (Mathematiker), Spektralnorm, Standardskalarprodukt, Symmetrische Matrix, Trägheitssatz von Sylvester, Vorkonditionierung, William Davidon.
Affiner Raum
Der affine Raum (von), gelegentlich auch lineare Mannigfaltigkeit genannt, nimmt im systematischen Aufbau der Geometrie eine Mittelstellung zwischen Euklidischem Raum und Projektivem Raum ein.
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Bergsteigeralgorithmus
Bergsteigeralgorithmus (engl. hill climbing) ist ein einfaches, heuristisches Optimierungsverfahren.
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Cornelius Lanczos
Cornelius Lanczos (auch Kornél Lőwy, Kornél Lánczos; * 2. Februar 1893 in Székesfehérvár, Österreich-Ungarn; † 25. Juni 1974 in Budapest) war ein ungarischer Mathematiker und Physiker.
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Dünnbesetzte Matrix
Finite-Elemente-Rechnung, Nichtnulleinträge erscheinen in Schwarz In der numerischen Mathematik bezeichnet man als dünnbesetzte oder schwachbesetzte Matrix eine Matrix, bei der so viele Einträge aus Nullen bestehen, dass man nach Möglichkeiten sucht, dies insbesondere hinsichtlich Algorithmen sowie Speicherung auszunutzen.
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Definitheit
Definitheit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra.
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Dimension (Mathematik)
Die Dimension ist ein Konzept in der Mathematik, das im Wesentlichen die Anzahl der Freiheitsgrade einer Bewegung in einem bestimmten Raum bezeichnet.
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Eduard Stiefel
Eduard Stiefel, 1955 Oberwolfach, 1978 Eduard Ludwig Stiefel (* 21. April 1909 in Zürich; † 25. November 1978 ebenda) war ein Schweizer Mathematiker.
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Eigenwerte und Eigenvektoren
Scherung der Mona Lisa wurde das Bild so verformt, dass der rote Pfeil (Vektor) seine Richtung (entlang der vertikalen Achse) nicht geändert hat, der blaue Pfeil jedoch schon. Der rote Vektor ist ein Eigenvektor der Scherabbildung, während der blaue Vektor dies aufgrund seiner Richtungsänderung nicht ist. Da der rote Vektor nicht skaliert wird, ist sein zugehöriger Eigenwert 1. Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird.
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Gradient (Mathematik)
Zwei Skalarfelder, dargestellt als Grauschattierung (dunklere Färbung entspricht größerem Funktionswert). Die blauen Pfeile darauf symbolisieren den zugehörigen Gradienten. Der Gradient als Operator der Mathematik verallgemeinert die bekannten Gradienten, die den Verlauf von physikalischen Größen beschreiben.
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Gradientenverfahren
Das Gradientenverfahren wird in der Numerik eingesetzt, um allgemeine Optimierungsprobleme zu lösen.
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Hauptdiagonale
Hauptdiagonale (rot) und Nebendiagonalen (blau) einer (4×4)-Matrix Die Hauptdiagonale einer Matrix besteht in der Mathematik aus denjenigen Elementen der Matrix, die auf einer gedachten diagonal von links oben unter 45° nach rechts unten verlaufenden Linie liegen.
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Henk van der Vorst
Hendrik Albertus „Henk“ van der Vorst (* 5. Mai 1944) ist ein niederländischer Mathematiker, der sich mit numerischer Mathematik befasst.
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ILU-Zerlegung
Als ILU-Zerlegung (von incomplete LU-Decomposition) oder unvollständige LU-Zerlegung bezeichnet man in der numerischen Mathematik die fehlerbehaftete Zerlegung einer Matrix A \in \mathbb^ in das Produkt einer unteren Dreiecksmatrix L und einer oberen Dreiecksmatrix U bei der von den Zerlegungsmatrizen L und U nur die Einträge einer vorgegebenen Besetzungsstruktur berechnet werden.
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Iteration
Iteration (von,wiederholen‘) beschreibt allgemein einen Prozess mehrfachen Wiederholens gleicher oder ähnlicher Handlungen zur Annäherung an eine Lösung oder ein bestimmtes Ziel.
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Jacobi-Verfahren
In der numerischen Mathematik ist das Jacobi-Verfahren, auch Gesamtschrittverfahren genannt, ein Algorithmus zur näherungsweisen Lösung von linearen Gleichungssystemen.
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Kondition (Mathematik)
In der numerischen Mathematik beschreibt man mit der Kondition die Abhängigkeit der Lösung eines Problems von der Störung der Eingangsdaten.
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Konjugation (Mathematik)
320x320px In der Mathematik bezeichnet die Konjugation die Abbildung einer komplexen Zahl als eine Zahl mit gleichem Realteil und einem Imaginärteil mit gleichem Betrag, aber entgegengesetztem Vorzeichen.
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Krylow-Unterraum-Verfahren
Krylow-Unterraum-Verfahren sind iterative Verfahren zum Lösen großer, dünnbesetzter linearer Gleichungssysteme, wie sie bei der Diskretisierung von partiellen Differentialgleichungen entstehen, oder von Eigenwertproblemen.
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Krylowraum
Ein Krylowraum ist ein Untervektorraum des komplexen Spaltenvektorraums \mathbb^n, der zu einer quadratischen Matrix A\in\mathbb^, einem Spaltenvektor q\in\mathbb^n, dem Startvektor der Krylow-Sequenz und einem Index m als lineare Hülle iterierter Matrix-Vektor-Produkte definiert ist.
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Lanczos-Verfahren
Das Lanczos-Verfahrenhttps://www2.cs.duke.edu/courses/fall06/cps258/references/Krylov-space/Lanczos-original.pdf Lanczos, C. (1950).
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Lineares Gleichungssystem
Ein lineares Gleichungssystem (kurz LGS) ist in der linearen Algebra eine Menge linearer Gleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten, die alle gleichzeitig erfüllt sein sollen.
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Magnus Hestenes
Magnus Hestenes Magnus Hestenes (* 1906 in Bricelyn, Minnesota; † 31. Mai 1991) war ein US-amerikanischer Mathematiker.
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Matrix-Vektor-Produkt
Bei einer Matrix-Vektor-Multiplikation muss die Spaltenzahl der Matrix gleich der Zahl der Komponenten des Vektors sein. Die Komponentenzahl des Ergebnisvektors entspricht dann der Zeilenzahl der Matrix. Das Matrix-Vektor-Produkt ist in der linearen Algebra das Produkt einer Matrix mit einem Vektor.
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Matrizenmultiplikation
Bei einer Matrizenmultiplikation muss die Spaltenzahl der ersten Matrix gleich der Zeilenzahl der zweiten Matrix sein. Die Ergebnismatrix hat dann die Zeilenzahl der ersten und die Spaltenzahl der zweiten Matrix. Die Matrizenmultiplikation oder Matrixmultiplikation ist in der Mathematik eine multiplikative Verknüpfung von Matrizen.
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Methode der kleinsten Quadrate
Die Methode der kleinsten Quadrate (kurz: MKQ) oder KQ-Methode (method of least squares oder lediglich least squares, kurz: LS); zur Abgrenzung von daraus abgeleiteten Erweiterungen wie z. B.
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Michael J. D. Powell
Michael James David Powell (* 29. Juli 1936 in London; † 19. April 2015) war ein britischer Mathematiker.
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Norm (Mathematik)
Mengen konstanter Norm (Normsphären) der Maximumsnorm (Würfeloberfläche) und der Summennorm (Oktaederoberfläche) von Vektoren in drei Dimensionen Eine Norm (von „Richtschnur“) ist in der Mathematik eine Abbildung, die einem mathematischen Objekt, beispielsweise einem Vektor, einer Matrix, einer Folge oder einer Funktion, eine Zahl zuordnet, die auf gewisse Weise die Größe des Objekts beschreiben soll.
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Numerische Mathematik
Die numerische Mathematik, auch kurz Numerik genannt, beschäftigt sich als Teilgebiet der Mathematik mit der Konstruktion und Analyse von Algorithmen für kontinuierliche mathematische Probleme.
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Polynom
Ein Polynom ist ein algebraischer Term, der sich als Summe von Vielfachen von Potenzen einer Variablen bzw.
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Quadratische Form
Eine quadratische Form ist in der Mathematik eine Funktion, die sich in einigen Aspekten wie die quadratische Funktion x\mapsto x^2 verhält.
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Reguläre Matrix
Eine reguläre, invertierbare oder nichtsinguläre Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, die eine Inverse besitzt.
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Residuum (numerische Mathematik)
Als Residuum bezeichnet man in der numerischen Mathematik die Abweichung vom gewünschten Ergebnis, welche entsteht, wenn in eine Gleichung Näherungslösungen eingesetzt werden.
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Roger Fletcher (Mathematiker)
Roger Fletcher (* 29. Januar 1939; † vor dem 15. Juli 2016) war ein britischer Mathematiker, der sich mit Optimierung befasste.
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Spektralnorm
Illustration der Spektralnorm Die Spektralnorm ist in der Mathematik die von der euklidischen Norm abgeleitete natürliche Matrixnorm.
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Standardskalarprodukt
Produkt eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor angesehen werden. Das Standardskalarprodukt oder kanonische Skalarprodukt (manchmal auch „euklidisches Skalarprodukt“ genannt) ist das in der Mathematik normalerweise verwendete Skalarprodukt auf den endlichdimensionalen reellen und komplexen Standard-Vektorräumen \R^n bzw.
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Symmetrische Matrix
Symmetriemuster einer symmetrischen (5×5)-Matrix Eine symmetrische Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, deren Einträge spiegelsymmetrisch bezüglich der Hauptdiagonale sind.
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Trägheitssatz von Sylvester
Der Trägheitssatz von Sylvester – oder sylvestersche Trägheitssatz – ist ein Theorem aus der linearen Algebra, welches besagt, dass Koeffizientenmatrizen von Bilinearformen bestimmte Eigenschaften aufweisen, die invariant unter einem Basiswechsel sind.
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Vorkonditionierung
In der numerischen Mathematik bezeichnet Vorkonditionierung eine Technik, mittels derer ein Problem so umgeformt wird, dass die Lösung erhalten bleibt, sich jedoch für das gewählte numerische Lösungsverfahren positive Eigenschaften wie bessere Kondition oder schnellere Konvergenz ergeben.
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William Davidon
William Cooper Davidon (* 18. März 1927 in Fort Lauderdale, Florida; † 8. November 2013) war ein US-amerikanischer Physiker und Mathematiker, der sich mit theoretischer Physik und numerischer Analysis befasste.
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Leitet hier um:
Methode der konjugierten Gradienten, Preconditioned Conjugate Gradient, Verfahren der konjugierten Gradienten.
