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Lineare Optimierung

Index Lineare Optimierung

Bei linearen Optimierungsproblemen ist die Menge der zulässigen Punkte (braun) durch lineare Ungleichungen (Halbräume, definiert durch Hyperebenen) eingeschränkt. Die lineare Optimierung oder lineare Programmierung ist eines der Hauptverfahren des Operations Research und beschäftigt sich mit der Optimierung linearer Zielfunktionen über einer Menge, die durch lineare Gleichungen und Ungleichungen eingeschränkt ist.

74 Beziehungen: Alexander Schrijver, Arkadi Nemirovski, Berührung (Mathematik), Branch-and-Cut, Computer, Dawid Borissowitsch Judin, Dünnbesetzte Matrix, Deckungsbeitrag, Dualität (Mathematik), Ecke, Eindimensionales Zuschnittproblem, Ellipsoid, Ellipsoidmethode, Ganzzahlige lineare Optimierung, George Dantzig, Gerade, Gleichung, Halbraum, Hyperebene, Innere-Punkte-Verfahren, John von Neumann, Kombinatorische Optimierung, Kommunikationssystem, Komplexitätstheorie, Konische Kombination, Konvexe Menge, Konvexe Optimierung, Lagrange-Dualität, Leonid Gendrichowitsch Chatschijan, Leonid Witaljewitsch Kantorowitsch, Lineare Abbildung, Lineare Optimierung (Spieltheorie), Lineares Gleichungssystem, Linearkombination, Matrix (Mathematik), Max-Flow-Min-Cut-Theorem, Narendra Karmarkar, Naum Schor, Nichtlineare Optimierung, Nobelpreis, NP-Äquivalenz, NP-Vollständigkeit, Nullsummenspiel, Nullvektor, Numerische lineare Algebra, Operations Research, Optimierung (Mathematik), Oskar Morgenstern, P-NP-Problem, Parametrisierter Algorithmus, ..., Peter Knabner, Pivotverfahren, Polyeder, Polynomialzeit, Polytop (Geometrie), Produktionsprogramm, Robert Bixby, Routing, Schnittebenenverfahren, Simplex-Verfahren, Spieltheorie, Standardskalarprodukt, Tjalling C. Koopmans, Total unimodulare Matrix, Transportproblem, Ungarische Methode, Ungleichung, United States Air Force, Vašek Chvátal, Vektor, Wahrscheinlichkeitsmaß, Wirtschaftswissenschaft, Wolf Barth, Wolfgang Domschke. Erweitern Sie Index (24 mehr) »

Alexander Schrijver

Alexander „Lex“ Schrijver (* 4. Mai 1948) ist ein niederländischer Mathematiker, der sich mit kombinatorischer Optimierung und Kombinatorik beschäftigt.

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Arkadi Nemirovski

Arkadi S. Nemirovski (* 14. März 1947 in Moskau) ist ein aus Russland stammender israelischer Mathematiker, der sich mit Optimierung beschäftigt.

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Berührung (Mathematik)

Die Berührung ist ein Konzept aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie.

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Branch-and-Cut

Branch-and-Cut bzw.

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Computer

Ein Computer oder Rechner (veraltet elektronische Datenverarbeitungsanlage) ist ein Gerät, das mittels programmierbarer Rechenvorschriften Daten verarbeitet.

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Dawid Borissowitsch Judin

Dawid Borissowitsch Judin (auch David Berkowitsch Judin,, englische Transkription David Borisovich Yudin bzw. David Berkovich Yudin (* 21. Mai 1919 in Jekaterinoslaw; † 2006)) war ein russischer Mathematiker, der sich mit Mathematischer Optimierung befasste.

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Dünnbesetzte Matrix

In der numerischen Mathematik bezeichnet man als dünnbesetzte oder schwachbesetzte Matrix (engl. sparse matrix) eine Matrix, bei der so viele Einträge aus Nullen bestehen, dass man nach Möglichkeiten sucht, dies insbesondere hinsichtlich Algorithmen sowie Speicherung auszunutzen.

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Deckungsbeitrag

Der Deckungsbeitrag ist in der Kosten- und Leistungsrechnung die Differenz zwischen den erzielten Erlösen (Umsatz) und den variablen Kosten.

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Dualität (Mathematik)

In vielen Bereichen der Mathematik kommt es oft vor, dass man zu jedem Objekt X der jeweils betrachteten Klasse ein weiteres Objekt konstruieren und zur Untersuchung von X heranziehen kann.

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Ecke

Die Ecke, auch der Eckpunkt, ist in der Geometrie ein besonders ausgezeichneter Punkt der Grenzlinie oder -fläche eines Gebietes.

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Eindimensionales Zuschnittproblem

Das eindimensionale Zuschnittproblem (englisch one-dimensional cutting stock problem) ist ein \mathcal NP-schweres ganzzahliges lineares Optimierungsproblem mit dem Ziel, eindimensionale Teile in vorgegebenen Bedarfszahlen aus möglichst wenig Stücken Material gegebener Länge zuzuschneiden.

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Ellipsoid

Kugel (oben, a.

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Ellipsoidmethode

Die Ellipsoidmethode ist ein polynomialer Algorithmus zur Linearen Optimierung.

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Ganzzahlige lineare Optimierung

Die ganzzahlige lineare Optimierung (auch ganzzahlige Optimierung) ist ein Teilgebiet der angewandten Mathematik.

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George Dantzig

George B. Dantzig mit Gerald Ford bei der Verleihung der National Medal of Science 1976 George Bernard Dantzig (* 8. November 1914 in Portland, Oregon; † 13. Mai 2005 in Stanford, Kalifornien) war ein US-amerikanischer Mathematiker.

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Gerade

kartesischen Koordinatensystem Eine gerade Linie oder kurz Gerade ist ein Element der Geometrie.

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Gleichung

Älteste gedruckte Gleichung (1557), in heutiger Schreibweise „14x + 15.

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Halbraum

Ein Halbraum ist in der Mathematik eine durch eine Hyperebene begrenzte Teilmenge eines Raumes beliebiger Dimension.

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Hyperebene

Eine Hyperebene (blau) im Anschauungsraum geht durch Verschiebung einer Ursprungsebene um einen Vektor (rot) hervor. Eine Hyperebene ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung des Begriffs der Ebene vom Anschauungsraum auf Räume beliebiger Dimension.

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Innere-Punkte-Verfahren

Innere-Punkte-Verfahren nähern sich einer Optimallösung durch das Innere des Polyeders. Innere-Punkte-Verfahren sind in der Optimierung eine Klasse von Algorithmen zur Lösung von Optimierungsaufgaben.

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John von Neumann

John von Neumann (um 1940) John von Neumann (* 28. Dezember 1903 in Budapest, Österreich-Ungarn als János Lajos Neumann von Margitta; † 8. Februar 1957 in Washington, D.C.) war ein ungarisch-US-amerikanischer Mathematiker.

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Kombinatorische Optimierung

Kombinatorische Optimierung ist ein Zweig der diskreten Mathematik und spielt in vielen Bereichen einschließlich der Operations Research, der Informatik, der künstlichen Intelligenz und den Ingenieurwissenschaften eine wichtige Rolle.

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Kommunikationssystem

Ein Kommunikationssystem oder Kommunikationsnetz ist in der Nachrichtentechnik eine Bezeichnung für die zusammengefassten Merkmale des Nachrichtenverkehrs in einem Nachrichtennetz.

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Komplexitätstheorie

Die Komplexitätstheorie als Teilgebiet der Theoretischen Informatik befasst sich mit der Komplexität algorithmisch behandelbarer Probleme auf verschiedenen formalen Rechnermodellen.

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Konische Kombination

Eine konische Kombination (manchmal auch Nichtnegativkombination oder konische Linearkombination) und die eng verwandte Positivkombination sind spezielle Linearkombinationen, bei denen alle Koeffizienten nichtnegativ bzw.

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Konvexe Menge

eine konvexe Menge eine nichtkonvexe Menge In der Mathematik heißt eine geometrische Figur oder allgemeiner eine Teilmenge eines euklidischen Raums konvex, wenn für je zwei beliebige Punkte, die zur Menge gehören, auch stets deren Verbindungsstrecke ganz in der Menge liegt.

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Konvexe Optimierung

Die konvexe Optimierung ist ein Teilgebiet der mathematischen Optimierung.

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Lagrange-Dualität

Die Lagrange-Dualität ist eine wichtige Dualität in der mathematischen Optimierung, die sowohl Optimalitätskriterien mittels der Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen oder der Lagrange-Multiplikatoren liefert als auch äquivalente Umformulierungen von Optimierungsproblemen möglich macht.

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Leonid Gendrichowitsch Chatschijan

Leonid Gendrichowitsch Chatschijan (armenisch: Լեոնիդ Գենրիխովիչ Խաչիյան; russisch Леонид Генрихович Хачиян; englisch: Leonid Khachiyan; * 3. Mai 1952 in Leningrad; † 29. April 2005 in South Brunswick, New Jersey, USA) war ein Mathematiker, der zuletzt an der Rutgers University in New Jersey lehrte.

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Leonid Witaljewitsch Kantorowitsch

Leonid Kantorowitsch (1975) Leonid Witaljewitsch Kantorowitsch (* in Sankt Petersburg; † 7. April 1986 in Moskau) war ein sowjetischer Mathematiker und Ökonom.

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Lineare Abbildung

Achsenspiegelung als Beispiel einer linearen Abbildung Eine lineare Abbildung (auch Vektorraumhomomorphismus genannt) ist in der linearen Algebra ein wichtiger Typ von Abbildung zwischen zwei Vektorräumen über demselben Körper.

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Lineare Optimierung (Spieltheorie)

Die lineare Optimierung wird im Rahmen der Spieltheorie zur Ermittlung optimal gemischter Strategien genutzt.

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Lineares Gleichungssystem

Ein lineares Gleichungssystem (kurz LGS) ist in der linearen Algebra eine Menge linearer Gleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten, die alle gleichzeitig erfüllt sein sollen.

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Linearkombination

Unter einer Linearkombination versteht man in der linearen Algebra einen Vektor, der sich durch gegebene Vektoren unter Verwendung der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation ausdrücken lässt.

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Matrix (Mathematik)

Schema für eine allgemeine m\times n-Matrix Bezeichnungen In der Mathematik versteht man unter einer Matrix (Plural Matrizen) eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen (meist mathematischer Objekte, etwa Zahlen).

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Max-Flow-Min-Cut-Theorem

Auf dem Gebiet der Graphentheorie bezeichnet das Max-Flow-Min-Cut-Theorem einen Satz, der eine Aussage über den Zusammenhang von maximalen Flüssen und minimalen Schnitten eines Flussnetzwerkes gibt.

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Narendra Karmarkar

Narendra B. Karmarkar (* 1957) ist ein indischer Mathematiker.

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Naum Schor

Naum Susselewytsch Schor (meist in englischer Transkription zitiert als Naum Z. Shor; * 1. Januar 1937 in Kiew; † 26. Februar 2006) war ein sowjetisch-ukrainischer Mathematiker, der sich mit Optimierung beschäftigte.

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Nichtlineare Optimierung

Nichtlineares Programm mit zulässigem Bereich und Optimum In der Mathematik ist die nichtlineare Optimierung (auch nichtlineares Programm, NLP, genannt) das Vorhaben, eine skalare Zielfunktion einer oder mehrerer reeller Variablen in einem eingeschränkten Bereich zu optimieren, wobei die Zielfunktion oder die Bereichsgrenzen nicht linear (nicht affin) sind.

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Nobelpreis

Alfred Nobel (1833–1896), Stifter des Nobelpreises Stockholmer Konzerthaus am Heumarkt (Hötorget), in dem die feierliche Überreichung aller Preise mit Ausnahme des Friedenspreises stattfindet. Das Rathaus von Oslo, in dem der Friedensnobelpreis überreicht wird. Der Nobelpreis ist eine seit 1901 jährlich vergebene Auszeichnung, die der schwedische Erfinder und Industrielle Alfred Nobel (1833–1896) gestiftet hat.

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NP-Äquivalenz

NP-Äquivalenz ist ein Begriff aus der Komplexitätstheorie innerhalb der Informatik.

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NP-Vollständigkeit

NP-schweren und NP-vollständigen Probleme. In der Informatik bezeichnet man ein Problem als NP-vollständig (vollständig für die Klasse der Probleme, die sich nichtdeterministisch in Polynomialzeit lösen lassen), wenn es zu den schwierigsten Problemen in der Klasse NP gehört, also sowohl in NP liegt, als auch NP-schwer ist.

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Nullsummenspiel

Nullsummenspiele beschreiben in der Spieltheorie Situationen, also Spiele im verallgemeinerten Sinne, bei denen die Summe der Gewinne und Verluste aller Spieler zusammengenommen gleich null ist.

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Nullvektor

Der Nullvektor ist in der Mathematik ein spezieller Vektor eines Vektorraums, und zwar das eindeutig bestimmte neutrale Element bezüglich der Vektoraddition.

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Numerische lineare Algebra

finite Elemente, wie hier zur Spannungsanalyse eines Hubkolbens (Dieselmotor), führt auf lineare Gleichungssysteme mit sehr vielen Gleichungen und Unbekannten. Die numerische lineare Algebra ist ein zentrales Teilgebiet der numerischen Mathematik.

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Operations Research

Unter Operations Research (US-engl. Operations Research oder GB-engl. Operational Research, kurz OR, im deutschen gelegentlich auch Unternehmensforschung, mathematische Planungsrechnung, Operationsforschung oder Optimierungsrechnung) wird allgemein die Entwicklung und der Einsatz quantitativer Modelle und Methoden zur Entscheidungsunterstützung verstanden.

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Optimierung (Mathematik)

Das Gebiet der Optimierung in der angewandten Mathematik beschäftigt sich damit, optimale Parameter eines – meist komplexen – Systems zu finden.

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Oskar Morgenstern

Oskar Morgenstern (* 24. Januar 1902 in Görlitz, Provinz Schlesien, Preußen; † 26. Juli 1977 in Princeton, USA) war ein österreichisch-amerikanischer Wirtschaftswissenschaftler und gemeinsam mit John von Neumann der Begründer der Spieltheorie.

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P-NP-Problem

Das P-NP-Problem (auch P≟NP, P versus NP) ist ein ungelöstes Problem der Mathematik und theoretischen Informatik, speziell der Komplexitätstheorie.

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Parametrisierter Algorithmus

Die parametrisierte Algorithmik ist ein relativ junges Teilgebiet der theoretischen Informatik, in dem genauer untersucht wird, welche Instanzen von NP-vollständigen Problemen effizient zu lösen sind.

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Peter Knabner

Peter Knabner (* 13. April 1954 in Tettau, Oberfranken) ist ein deutscher Mathematiker und derzeit Ordinarius für Angewandte Mathematik an der Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg.

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Pivotverfahren

Pivotverfahren (auch Basisaustauschverfahren) sind Algorithmen der mathematischen Optimierung, insbesondere der linearen Optimierung.

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Polyeder

Das Trigondodekaeder, ein Polyeder, das nur von regelmäßigen Dreiecken begrenzt ist. Ein (dreidimensionales) Polyeder (auch Vielflach, Vielflächner oder Ebenflächner; von, „viel“ und ἕδρα hedra, „Sitz(fläche)“) ist im engeren Sinne eine Teilmenge des dreidimensionalen Raumes, welche ausschließlich von geraden Flächen (Ebenen) begrenzt wird, beispielsweise ein Würfel oder ein Oktant eines dreidimensionalen Koordinatensystems.

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Polynomialzeit

In der Komplexitätstheorie bezeichnet man ein Problem als in Polynomialzeit lösbar, wenn die benötigte Rechenzeit einer deterministischen Rechenmaschine mit der Problemgröße nicht stärker als mit einer Polynomfunktion wächst.

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Polytop (Geometrie)

Polytop bezeichnet in der Geometrie ein verallgemeinertes Polygon in beliebiger Dimension.

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Produktionsprogramm

Das Produktionsprogramm enthält die Gesamtheit aller Produkte eines Unternehmens in der Art und Menge und bestimmt zugleich den Ort der zu produzierenden Produkte für einen festgelegten Zeitpunkt bzw.

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Robert Bixby

Robert Bixby in Oberwolfach (2004) Robert E. Bixby (* 14. September 1945) ist ein US-amerikanischer Mathematiker, dessen Spezialgebiet die lineare und ganzzahlige Optimierung ist.

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Routing

Routing (BE) /, aber auch (AE) (engl. „Leitweglenkung“, „Streckenführung“, „Verkehrsführung“ sowie „leiten“, „senden“, „steuern“) bezeichnet in der Telekommunikation das Festlegen von Wegen für Nachrichtenströme bei der Nachrichtenübermittlung in Rechnernetzen.

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Schnittebenenverfahren

Ein Schnittebenenverfahren (engl. cutting plane algorithm) ist in der angewandten Mathematik ein Algorithmus zur Lösung ganzzahliger linearer Optimierungsprobleme.

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Simplex-Verfahren

LP-Polyeders zur nächsten, bis keine Verbesserung mehr möglich ist. Ein Simplex-Verfahren (auch Simplex-Algorithmus) ist ein Optimierungsverfahren der Numerik zur Lösung linearer Optimierungsprobleme, auch als Lineare Programme (LP) bezeichnet.

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Spieltheorie

Die Spieltheorie ist eine mathematische Theorie, in der Entscheidungssituationen modelliert werden, in denen mehrere Beteiligte miteinander interagieren.

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Standardskalarprodukt

Produkt eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor angesehen werden. Das Standardskalarprodukt oder kanonische Skalarprodukt (manchmal auch „euklidisches Skalarprodukt“ genannt) ist das in der Mathematik normalerweise verwendete Skalarprodukt auf den endlichdimensionalen reellen und komplexen Standard-Vektorräumen \R^n bzw.

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Tjalling C. Koopmans

Koopmans (1967) Tjalling Charles Koopmans (* 28. August 1910 in 's-Graveland, heute zu Wijdemeren; † 26. Februar 1985 in New Haven, Connecticut) war ein amerikanischer Ökonom und Physiker niederländischer Abstammung.

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Total unimodulare Matrix

Eine total unimodulare Matrix ist eine Matrix mit ganzzahligen Einträgen, bei der noch weitere Ansprüche an die Determinanten aller quadratischen Untermatrizen gestellt sind.

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Transportproblem

Das Transportproblem ist eine Fragestellung aus dem Operations Research: Zum Transport einheitlicher Objekte von mehreren Angebots- zu mehreren Nachfrageorten ist ein optimaler, d. h.

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Ungarische Methode

Die Ungarische Methode, auch Kuhn-Munkres-Algorithmus genannt, ist ein Algorithmus zum Lösen gewichteter Zuordnungsprobleme auf bipartiten Graphen.

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Ungleichung

Eine Ungleichung ist ein Gegenstand der Mathematik, mit dem Größenvergleiche formuliert und untersucht werden können.

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United States Air Force

Die 1947 gegründete United States Air Force (USAF) ist die Luftstreitkraft der Streitkräfte der Vereinigten Staaten von Amerika.

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Vašek Chvátal

Vašek Chvátal (2007) Vašek Chvátal (* 20. Juli 1946 in Prag) ist ein tschechisch-kanadischer Mathematiker, der vor allem in der linearen und ganzzahligen Optimierung sowie an graphentheoretischen Problemen arbeitet.

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Vektor

Im allgemeinen Sinn versteht man in der linearen Algebra unter einem Vektor (lat. vector „Träger, Fahrer“) ein Element eines Vektorraums, das heißt ein Objekt, das zu anderen Vektoren addiert und mit Zahlen, die als Skalare bezeichnet werden, multipliziert werden kann.

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Wahrscheinlichkeitsmaß

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß, kurz W-Maß oder synonym Wahrscheinlichkeitsverteilung beziehungsweise kurz W-Verteilung oder einfach Verteilung genannt, ist ein grundlegendes Konstrukt der Stochastik und Wahrscheinlichkeitstheorie.

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Wirtschaftswissenschaft

Die Wirtschaftswissenschaft, auch Ökonomik und veraltend Ökonomie, ist die Wissenschaft von der Wirtschaft (Ökonomie).

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Wolf Barth

Wolf Barth (1980) Barth Sextik Wolf Paul Barth (* 20. Oktober 1942 in Wernigerode; † 30. Dezember 2016) war ein deutscher Mathematiker, der sich mit algebraischer Geometrie beschäftigte.

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Wolfgang Domschke

Wolfgang Domschke (* 2. Juni 1944 in Oberböhmsdorf, Thüringen) ist ordentlicher Universitätsprofessor für Betriebswirtschaftslehre und Operations Research an der Technischen Universität Darmstadt (TU Darmstadt).

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Leitet hier um:

Duales Problem, Linear programming, Lineare Planungsrechnung, Lineare Programmierung, Lineares Optimieren, Lineares Programm, Nichtnegativitätsbedingung, Primales Problem.

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