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Legendre-Transformation

Index Legendre-Transformation

Die Legendre-Transformation (nach Adrien-Marie Legendre) gehört zu den Berührungstransformationen und dient als wichtiges mathematisches Verfahren zur Variablentransformation.

27 Beziehungen: Adrien-Marie Legendre, Differenzierbarkeit, Enthalpie, Entropie, Freie Energie, Fundamentalgleichung, Geradengleichung, Gibbs-Energie, Hamilton-Funktion, Innere Energie, Involution (Mathematik), Kontaktgeometrie, Konvexe und konkave Funktionen, Koordinatentransformation, Lagrange-Formalismus, Mechanik, Partielle Ableitung, Partielle Differentialgleichung, Steigung, Tangente, Temperatur, Thermodynamik, Thermodynamisches Potential, Umkehrfunktion, Variationsrechnung, Vorzeichen (Zahl), Y-Achsenabschnitt.

Adrien-Marie Legendre

Adrien-Marie Legendre (* 18. September 1752 in Paris; † 10. Januar 1833 ebenda) war ein französischer Mathematiker.

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Differenzierbarkeit

Graph einer differenzierbaren Funktion Als Differenzierbarkeit bezeichnet man in der Mathematik die Eigenschaft einer Funktion, sich lokal um einen Punkt in eindeutiger Weise linear approximieren zu lassen.

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Enthalpie

Die Reaktionsenthalpie der Verbrennung von Alkohol an der Luft ist negativ. Es handelt sich also um eine exotherme Reaktion, bei der Wärme an die Umgebung abgegeben wird. Die Schmelzenthalpie ist die notwendige Energiemenge, die zum Schmelzen des Eises bei konstantem Druck aufgebracht werden muss. Sie wird der Umgebung entzogen und kühlt dabei das Getränk. Die Enthalpie H (altgr. ἐν en ‚in‘ und θάλπειν thálpein ‚erwärmen‘) früher auch Wärmeinhalt, eines thermodynamischen Systems ist die Summe aus der inneren Energie U des Systems und dem Produkt aus Druck p und Volumen V des Systems: Sie hat die Dimension der Energie und wird in der Einheit Joule gemessen.

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Entropie

Beim Schmelzen von Eis wird die geordnete Eiskristallstruktur in eine ungeordnete Bewegung einzelner Wassermoleküle überführt: ''Die Entropie des Wassers im Eiswürfel nimmt dabei zu'' (Rudolf Clausius 1862) Die Entropie (Kunstwort entropía, von ἐν en ‚an‘, ‚in‘ und τροπή tropḗ ‚Wendung‘) ist eine fundamentale thermodynamische Zustandsgröße mit der SI-Einheit Joule pro Kelvin, also J/K.

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Freie Energie

Die freie Energie (auch Helmholtz-Potential, helmholtzsche freie Energie oder Helmholtz-Energie nach Hermann von Helmholtz) ist eine Zustandsgröße in der Thermodynamik.

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Fundamentalgleichung

Die Fundamentalgleichung der Thermodynamik (auch Fundamentalrelation oder Gibbssche Fundamentalgleichung nach Josiah Willard Gibbs) ist Ausgangspunkt der formalen Thermodynamik.

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Geradengleichung

Gerade durch die beiden Punkte P und Q in einem kartesischen Koordinatensystem Eine Geradengleichung ist eine Gleichung in der Mathematik, die eine Gerade eindeutig beschreibt.

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Gibbs-Energie

Die Gibbs-Energie (auch freie Enthalpie) ist ein thermodynamisches Potential, also eine Zustandsgröße in der Thermodynamik.

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Hamilton-Funktion

Die Hamilton-Funktion \mathcal H(\vec q, \vec p, t) (auch Hamiltonian, nach William Rowan Hamilton) eines Systems von Teilchen ist eine Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion, die, wenn keine rheonomen, also zeitabhängigen, Zwangsbedingungen vorliegen, mit der Gesamtenergie als Funktion der Orte und Impulse der Teilchen korrespondiert.

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Innere Energie

Die innere Energie U ist die gesamte für thermodynamische Umwandlungsprozesse zur Verfügung stehende Energie eines physikalischen Systems, das sich in Ruhe und im thermodynamischen Gleichgewicht befindet.

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Involution (Mathematik)

Der Begriff Involution bezeichnet in der Mathematik eine selbstinverse Abbildung.

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Kontaktgeometrie

Das mathematische Gebiet der Kontaktgeometrie ist ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, das sich mit bestimmten geometrischen Strukturen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten befasst, nämlich mit vollständig nicht-integrierbaren Feldern von Hyperebenen im Tangentialbündel, sogenannten Kontaktstrukturen.

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Konvexe und konkave Funktionen

Beispiel einer konvexen Funktion Beispiel einer konkaven Funktion In der Analysis heißt eine reellwertige Funktion konvex, wenn ihr Graph unterhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt.

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Koordinatentransformation

Koordinatentransformation bei als ruhend angenommenem Objekt (links) bzw. als ruhend angenommenem Koordinatensystem (rechts) Bei einer Koordinatentransformation werden aus den Koordinaten eines Punktes in einem Koordinatensystem dessen Koordinaten in einem anderen Koordinatensystem berechnet.

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Lagrange-Formalismus

Der Lagrange-Formalismus ist in der Physik eine 1788 von Joseph-Louis Lagrange eingeführte Formulierung der klassischen Mechanik, in der die Dynamik eines Systems durch eine einzige skalare Funktion, die Lagrange-Funktion, beschrieben wird.

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Mechanik

Die Mechanik (von) ist in den Naturwissenschaften und den Ingenieurwissenschaften die Lehre von der Bewegung von Körpern sowie den dabei wirkenden Kräften.

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Partielle Ableitung

In der Differentialrechnung ist eine partielle Ableitung die Ableitung einer Funktion mit mehreren Argumenten nach einem dieser Argumente (in Richtung dieser Koordinatenachse).

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Partielle Differentialgleichung

Eine partielle Differentialgleichung (Abkürzung PDG, PDGL oder PDGln, beziehungsweise PDE für) ist eine Differentialgleichung, die partielle Ableitungen enthält.

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Steigung

Die Steigung einer linearen Funktion entspricht dem Quotienten \tfrac\Delta y\Delta x In der Mathematik, insbesondere in der Analysis, ist die Steigung (auch als Anstieg bezeichnet) ein Maß für die Steilheit einer Geraden oder einer Kurve.

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Tangente

Kreis mit Tangente, Sekante und Passante Eine Tangente (von lateinisch: tangere ‚berühren‘) ist in der Geometrie eine Gerade, die eine gegebene Kurve in einem bestimmten Punkt berührt.

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Temperatur

Die Temperatur ist eine physikalische Größe, die vor allem in der Thermodynamik eine wichtige Rolle spielt.

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Thermodynamik

Typischer thermodynamischer Vorgang am Beispiel der prinzipiellen Wirkungsweise eines durch Dampf betriebenen Motors (rot.

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Thermodynamisches Potential

Thermodynamische Potentiale sind in der Thermodynamik Größen, die von ihrem Informationsgehalt her das Verhalten eines thermodynamischen Systems im Gleichgewicht vollständig beschreiben.

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Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion Die Umkehrfunktion oder inverse Funktion einer bijektiven Funktion ist die Funktion, die jedem Element der Zielmenge sein eindeutig bestimmtes Urbildelement zuweist.

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Variationsrechnung

Die Variationsrechnung ist eine Sparte der Mathematik, die um die Mitte des 18.

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Vorzeichen (Zahl)

Ein Vorzeichen oder Signum (von signum Zeichen) ist ein Zeichen, das einer reellen Zahl vorangestellt wird, um sie als positiv oder negativ auszuweisen.

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Y-Achsenabschnitt

Geht die y-Achse durch den Koordinatenursprung (0|0), dann bezeichnet der y-Achsenabschnitt oder Ordinatenabschnitt die y-Koordinate des Schnittpunktes eines Funktionsgraphen mit der y-Achse oder Ordinate.

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Leitet hier um:

Legendretransformation.

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