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Isometrie

Index Isometrie

Eine Isometrie ist in der Mathematik eine Abbildung, die zwei metrische Räume aufeinander abbildet und dabei die Metrik (Abstand, Distanz) erhält.

40 Beziehungen: Abbildungsgeometrie, Affine Abbildung, Ähnlichkeit (Geometrie), Banachraum, Bijektive Funktion, Diskrete Metrik, Einbettung (Mathematik), Euklidische Geometrie, Euklidischer Raum, Flächeninhalt, Funktion (Mathematik), Gleichmäßige Stetigkeit, Gruppe (Mathematik), Hausdorff-Maß, Injektive Funktion, Isometrie (Riemannsche Geometrie), Isometrische Isomorphie, Kongruenz (Geometrie), Lineare Abbildung, Lipschitz-Stetigkeit, Mathematik, Metrischer Raum, Norm (Mathematik), Normierter Raum, Orthogonale Abbildung, Orthogonale Gruppe, Orthogonalsystem, Orthonormalbasis, Quasi-Isometrie, Riemannsche Geometrie, Riemannsche Mannigfaltigkeit, Siegfried Bosch, Skalarprodukt, Skalarproduktnorm, Synthetische Geometrie, Unitäre Abbildung, Unitäre Gruppe, Vollständiger Raum, Volumen, Winkel.

Abbildungsgeometrie

Die Abbildungsgeometrie ist der Zweig der Geometrie, der die geometrischen Abbildungen untersucht.

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Affine Abbildung

In der Geometrie und in der Linearen Algebra, Teilgebieten der Mathematik, ist eine affine Abbildung (auch affine Transformation genannt, insbesondere bei einer bijektiven Abbildung) eine Abbildung zwischen zwei affinen Räumen, bei der Kollinearität, Parallelität und Teilverhältnisse bewahrt bleiben oder gegenstandslos werden.

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Ähnlichkeit (Geometrie)

In der Geometrie sind zwei Figuren genau dann zueinander ähnlich, wenn sie durch eine Ähnlichkeitsabbildung (auch diese Abbildung wird häufig als Ähnlichkeit bezeichnet) ineinander überführt werden können.

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Banachraum

Ein Banachraum (auch Banach-Raum, Banachscher Raum) ist in der Mathematik ein vollständiger normierter Vektorraum.

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Bijektive Funktion

Funktion Bijektivität (zum Adjektiv bijektiv, welches etwa ‚umkehrbar eindeutig auf‘ bedeutet → daher auch der Begriff eineindeutig bzw. Eineindeutigkeit) ist ein mathematischer Begriff aus dem Bereich der Mengenlehre.

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Diskrete Metrik

Die diskrete Metrik ist eine spezielle Metrik, welche auf jeder beliebigen Menge definiert werden kann.

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Einbettung (Mathematik)

In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik versteht man unter einer Einbettung eine Abbildung, die es ermöglicht, ein Objekt als Teil eines anderen aufzufassen.

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Euklidische Geometrie

Die euklidische Geometrie ist zunächst die uns vertraute, anschauliche Geometrie des Zwei- oder Dreidimensionalen.

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Euklidischer Raum

In der Mathematik ist der euklidische Raum zunächst der „Raum unserer Anschauung“, wie er in Euklids Elementen durch Axiome und Postulate beschrieben wird (vgl. euklidische Geometrie).

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Flächeninhalt

Der Flächeninhalt ist ein Maß für die Größe einer Fläche.

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Funktion (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, x-Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, y-Wert) zuordnet.

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Gleichmäßige Stetigkeit

Bei gleichmäßig stetigen Funktionen kann um jeden Punkt des Graphen ein Rechteck mit Höhe 2\epsilon und Breite 2\delta eingezeichnet werden, ohne dass der Graph direkt ober-/unterhalb des Rechtecks liegt. Die Funktion g(x).

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Gruppe (Mathematik)

Die Drehungen eines Zauberwürfels bilden eine Gruppe. In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen.

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Hausdorff-Maß

Zur Bestimmung des Flächeninhalts einer m-dimensionalen Fläche im n-dimensionalen Raum \R^n (mit m) gibt es in der Mathematik diverse Maße, die für alle Teilmengen des \R^n definiert sind und auf den „anständigen“ (nicht entarteten) m-dimensionalen Flächen deren heuristischen Flächeninhalt ergeben.

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Injektive Funktion

Illustration einer '''Injektion.'''Jedes Element von Y hat höchstens ein Urbild: A, B, D je eines, C keines. Injektivität oder Linkseindeutigkeit ist eine Eigenschaft einer mathematischen Relation, also insbesondere auch einer Funktion (wofür man meist gleichwertig auch „Abbildung“ sagt): Eine injektive Funktion, auch als Injektion bezeichnet, ist ein Spezialfall einer linkseindeutigen Relation.

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Isometrie (Riemannsche Geometrie)

In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet man Abbildungen als lokale Isometrien, wenn sie die Riemannsche Metrik erhalten.

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Isometrische Isomorphie

Isometrische Isomorphie beschreibt in der Funktionalanalysis einen Zusammenhang zwischen zwei unterschiedlichen Räumen, die geometrisch identisch sind.

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Kongruenz (Geometrie)

In der Geometrie sind zwei Figuren kongruent (deckungsgleich oder gleichförmig) (von lat. congruens.

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Lineare Abbildung

Achsenspiegelung als Beispiel einer linearen Abbildung Eine lineare Abbildung (auch Vektorraumhomomorphismus genannt) ist in der linearen Algebra ein wichtiger Typ von Abbildung zwischen zwei Vektorräumen über demselben Körper.

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Lipschitz-Stetigkeit

Für eine Lipschitz-stetige Funktion existiert ein Doppelkegel (weiß) dessen Ursprung entlang des Graphs bewegt werden kann, sodass dieser stets außerhalb des Kegels bleibt Lipschitz-Stetigkeit (nach Rudolf Lipschitz), auch Dehnungsbeschränktheit, bezeichnet in der Analysis eine Verschärfung der Stetigkeit.

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Mathematik

Die Mathematik (bundesdeutsches Hochdeutsch:,; österreichisches Hochdeutsch:; mathēmatikē téchnē ‚die Kunst des Lernens‘, ‚zum Lernen gehörig‘) ist eine Wissenschaft, welche aus der Untersuchung von geometrischen Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstand.

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Metrischer Raum

Unter einem metrischen Raum versteht man in der Mathematik eine Menge, auf der eine Metrik definiert ist.

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Norm (Mathematik)

Mengen konstanter Norm (Normsphären) der Maximumsnorm (Würfeloberfläche) und der Summennorm (Oktaederoberfläche) von Vektoren in drei Dimensionen Eine Norm (von lateinisch norma „Richtschnur“) ist in der Mathematik eine Abbildung, die einem mathematischen Objekt, beispielsweise einem Vektor, einer Matrix, einer Folge oder einer Funktion, eine Zahl zuordnet, die auf gewisse Weise die Größe des Objekts beschreiben soll.

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Normierter Raum

Ein normierter Raum oder normierter Vektorraum ist in der Mathematik ein Vektorraum, auf dem eine Norm definiert ist.

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Orthogonale Abbildung

Eine orthogonale Abbildung oder orthogonale Transformation ist in der Mathematik eine Abbildung zwischen zwei reellen Skalarprodukträumen, die das Skalarprodukt erhält.

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Orthogonale Gruppe

Die orthogonale Gruppe \mathrm O(n) ist die Gruppe der orthogonalen (n\times n)-Matrizen mit reellen Koeffizienten.

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Orthogonalsystem

In der Linearen Algebra und der Funktionalanalysis, Teilgebieten der Mathematik, ist ein Orthogonalsystem eine Menge von Vektoren eines Vektorraums mit Skalarprodukt (Prähilbertraum), die paarweise aufeinander senkrecht stehen.

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Orthonormalbasis

Eine Orthonormalbasis (ONB) oder ein vollständiges Orthonormalsystem (VONS) ist in den mathematischen Gebieten lineare Algebra und Funktionalanalysis eine Menge von Vektoren aus einem Vektorraum mit Skalarprodukt (Innenproduktraum), welche auf die Länge eins normiert und zueinander orthogonal (daher Ortho-normal-basis) sind und deren lineare Hülle dicht im Vektorraum liegt.

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Quasi-Isometrie

Der Begriff der Quasi-Isometrie dient in der Mathematik dazu, die „grobe“ globale Geometrie metrischer Räume zu untersuchen.

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Riemannsche Geometrie

Bernhard Riemann Die riemannsche Geometrie ist ein Teilgebiet der Differentialgeometrie und wurde nach Bernhard Riemann benannt.

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Riemannsche Mannigfaltigkeit

Eine riemannsche Mannigfaltigkeit oder ein riemannscher Raum ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der riemannschen Geometrie.

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Siegfried Bosch

Siegfried Bosch (* 29. September 1944 in Wuppertal) ist ein deutscher Mathematiker, der sich mit Zahlentheorie befasst.

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Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren im euklidischen Anschauungsraum hängt von der Länge der Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel ab. Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt, selten Punktprodukt) ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet.

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Skalarproduktnorm

Eine Skalarproduktnorm, Innenproduktnorm oder Hilbertnorm ist in der Mathematik eine von einem Skalarprodukt induzierte (abgeleitete) Norm.

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Synthetische Geometrie

Synthetische Geometrie ist der Zweig der Geometrie, der von geometrischen Axiomen und Theoremen ausgeht und häufig synthetische Betrachtungen bzw.

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Unitäre Abbildung

Eine unitäre Abbildung oder unitäre Transformation ist in der Mathematik eine Abbildung zwischen zwei komplexen Skalarprodukträumen, die das Skalarprodukt erhält.

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Unitäre Gruppe

In der Mathematik bezeichnet die unitäre Gruppe U(H) über einem komplexen Hilbertraum H die Gruppe aller unitären komplex linearen Abbildungen über H. Unitäre Gruppen und ihre Untergruppen spielen eine zentrale Rolle in der Quantenphysik, wo sie zur Beschreibung von Symmetrien der Wellenfunktion dienen.

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Vollständiger Raum

Ein vollständiger Raum ist in der Analysis ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge von Elementen des Raums konvergiert.

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Volumen

Das Volumen (Pl. Volumen oder Volumina; von lat. volumen „Windung, Krümmung“, aus volvere „wälzen, rollen“), auch: Raum- oder Kubikinhalt, ist der räumliche Inhalt eines geometrischen Körpers.

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Winkel

Ein Winkel ist in der Geometrie ein Teil der Ebene, der von zwei in der Ebene liegenden Strahlen (Halbgeraden) mit gemeinsamem Anfangspunkt begrenzt wird.

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Leitet hier um:

Isometrische Abbildung.

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