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Ultrafilter

Index Ultrafilter

Ein Ultrafilter ist in der Mathematik ein Mengenfilter auf einer Menge X, so dass für jede Teilmenge A von X entweder A selbst oder ihr Komplement X \setminus A Element des Mengenfilters ist.

45 Beziehungen: Abzählbare Menge, Aleph-Funktion, Algebraische Struktur, Asymptotischer Kegel, Auswahlaxiom, Überabzählbare Menge, Boolesche Algebra, Boto von Querenburg, Dualität (Verbandstheorie), Element (Mathematik), Endliche Menge, Familie (Mathematik), Fast alle, Filter (Mathematik), Filterkonvergenz, Filtration (Trennverfahren), Größtes und kleinstes Element, Horst Schubert (Mathematiker), Hyperreelle Zahl, Isolierter Punkt, Kardinalzahl (Mathematik), Kompakter Raum, Komplement (Mengenlehre), Leere Menge, Lemma von Zorn, Maß (Mathematik), Mathematik, Maximales und minimales Element, Menge (Mathematik), Modelltheorie, Nichtstandardanalysis, Ordnungsrelation, Paul Cohn (Mathematiker), Potenzmenge, Satz von Tychonoff, Teilmenge, Thomas Jech, Topologie (Mathematik), Topologischer Raum, Ultrafiltration, Ultraprodukt, Umgebung (Mathematik), Umgebungssystem, Universelle Algebra, Verband (Mathematik).

Abzählbare Menge

In der Mengenlehre wird eine Menge A als abzählbar unendlich bezeichnet, wenn sie die gleiche Mächtigkeit hat wie die Menge der natürlichen Zahlen \mathbb.

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Aleph-Funktion

Die Aleph-Funktion, benannt nach dem ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets und auch als \aleph geschrieben, ist eine in der Mengenlehre, genauer in der Theorie der Kardinalzahlen, verwendete Aufzählung aller unendlichen Kardinalzahlen.

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Algebraische Struktur

Der Begriff der algebraischen Struktur (oder universellen Algebra, allgemeinen Algebra oder nur Algebra) ist ein Grundbegriff und zentraler Untersuchungsgegenstand des mathematischen Teilgebietes der universellen Algebra.

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Asymptotischer Kegel

In der Mathematik ist der asymptotische Kegel eines metrischen Raumes eine Konstruktion, die die Idee eines Grenzraumes nach (beliebig klein werdender) Reskalierung der Metrik formalisiert und damit den Begriff des Gromov-Hausdorff-Grenzwerts verallgemeinert.

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Auswahlaxiom

Das Auswahlaxiom ist ein Axiom der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre.

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Überabzählbare Menge

Eine Menge heißt überabzählbar, wenn sie nicht abzählbar ist.

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Boolesche Algebra

Venn-Diagramme für Konjunktion, Disjunktion und Ergänzung In der Mathematik ist eine boolesche Algebra (oder ein boolescher Verband) eine spezielle algebraische Struktur, die die Eigenschaften der logischen Operatoren UND, ODER, NICHT sowie die Eigenschaften der mengentheoretischen Verknüpfungen Durchschnitt, Vereinigung, Komplement verallgemeinert.

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Boto von Querenburg

Boto von Querenburg ist ein Autorenkollektiv mehrerer Mathematiker, von denen die meisten am Mathematischen Institut der Ruhr-Universität Bochum gearbeitet haben.

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Dualität (Verbandstheorie)

Mit Dualität oder Dualisierung wird in der Mathematik eine doppelte wechselseitige Zuordnung bezeichnet.

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Element (Mathematik)

Ein Element (von lateinisch elementum, Lehnübersetzung von griechisch stoīcheĩa bzw. stoichẹjon„Reihenglied, Grundbestandteil“) in der Mathematik ist immer im Rahmen der Mengenlehre oder Klassenlogik zu verstehen.

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Endliche Menge

In der Mengenlehre, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine endliche Menge eine Menge mit endlich vielen Elementen.

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Familie (Mathematik)

Der Begriff der Familie wird in der Mathematik unmittelbar aus dem Grundbegriff der Funktion abgeleitet, informell handelt es sich bei einer Familie um eine Sammlung von Objekten mit einem Index aus einer Indexmenge.

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Fast alle

Fast alle ist in der Mathematik meist eine Abkürzung für alle bis auf endlich viele, meist im Zusammenhang mit abzählbaren Grundmengen.

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Filter (Mathematik)

In der Mathematik ist ein Filter eine nichtleere nach unten gerichtete Oberhalb-Menge innerhalb einer umgebenden halbgeordneten Menge.

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Filterkonvergenz

Die Filterkonvergenz ist ein Konvergenzbegriff in der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik.

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Filtration (Trennverfahren)

Die Filtration (auch Filtrierung, Filterung oder Filtern genannt) beinhaltet die Abtrennung von festen Partikeln, Makromolekülen, Mikroorganismen, Viren oder Tröpfchen aus einem Fluid mittels eines Filtermediums.

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Größtes und kleinstes Element

Das größte beziehungsweise kleinste Element sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Ordnungstheorie.

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Horst Schubert (Mathematiker)

Horst Schubert (* 11. Juni 1919 in Chemnitz; † 2001) war ein deutscher Mathematiker.

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Hyperreelle Zahl

In der Mathematik sind hyperreelle Zahlen ein zentraler Untersuchungsgegenstand der Nichtstandardanalysis.

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Isolierter Punkt

In der Topologie ist ein Element a einer Menge X ein isolierter Punkt, wenn es eine Umgebung von a gibt, in der (außer a) keine weiteren Elemente von X liegen.

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Kardinalzahl (Mathematik)

Kardinalzahlen (lat. numeri cardinales „vorzügliche Zahlen“, „Hauptzahlen“) sind in der Mathematik eine Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen zur Beschreibung der Mächtigkeit (oder auch Kardinalität) von Mengen.

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Kompakter Raum

Kompaktheit ist ein zentraler Begriff der mathematischen Topologie, und zwar eine Eigenschaft, die einem topologischen Raum zukommt oder nicht.

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Komplement (Mengenlehre)

In der Mengentheorie und anderen Teilgebieten der Mathematik sind zwei verschiedene Komplemente definiert: Das relative Komplement und das absolute Komplement.

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Leere Menge

Die leere Menge ist ein grundlegender Begriff aus der Mengenlehre.

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Lemma von Zorn

Das Lemma von Zorn, auch bekannt als Lemma von Kuratowski-Zorn oder Zornsches Lemma, ist ein Theorem der Mengenlehre, genauer gesagt, der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, die das Auswahlaxiom einbezieht.

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Maß (Mathematik)

Ein Maß ordnet Teilmengen einer Grundmenge Zahlen zu. Das Bild illustriert die Monotonieeigenschaft von Maßen, das heißt größere Mengen haben auch ein größeres Maß. Ein Maß ist in der Mathematik eine Funktion, die geeigneten Teilmengen einer Grundmenge Zahlen zuordnet, die als „Maß“ für die Größe dieser Mengen interpretiert werden können.

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Mathematik

Die Mathematik (bundesdeutsches Hochdeutsch:,; österreichisches Hochdeutsch:; mathēmatikē téchnē ‚die Kunst des Lernens‘) ist eine Formalwissenschaft, die aus der Untersuchung von geometrischen Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstand.

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Maximales und minimales Element

Die Begriffe maximales Element und minimales Element werden in der Mengenlehre, genauer in der Ordnungstheorie verwendet.

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Menge (Mathematik)

Symbolische Darstellung einer Menge von Vielecken leer. Als Menge wird in der Mathematik ein abstraktes Objekt bezeichnet, das aus der Zusammenfassung einer Anzahl einzelner Objekte hervorgeht.

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Modelltheorie

Die Modelltheorie ist ein Teilgebiet der mathematischen Logik.

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Nichtstandardanalysis

Nichtstandardanalysis ist ein Gebiet der Mathematik, das sich mit nichtarchimedisch geordneten Körpern beschäftigt.

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Ordnungsrelation

Ordnungsrelationen sind in der Mathematik Verallgemeinerungen der „kleiner-gleich“-Beziehung.

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Paul Cohn (Mathematiker)

Paul Cohn 1989 Paul Moritz Cohn (geboren 8. Januar 1924 in Hamburg; gestorben 20. April 2006 in London) war ein britischer Mathematiker, der sich mit Algebra beschäftigte.

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Potenzmenge

Die Potenzmenge von ''x'', ''y'', ''z'', dargestellt als Hasse-Diagramm. Als Potenzmenge bezeichnet man in der Mengenlehre die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge.

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Satz von Tychonoff

Der Satz von Tychonoff (nach Andrei Nikolajewitsch Tichonow) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie.

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Teilmenge

Mengendiagramm: ''A'' ist eine (echte) Teilmenge von ''B''. Die mathematischen Begriffe Teilmenge und Obermenge beschreiben eine Beziehung zwischen zwei Mengen.

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Thomas Jech

Thomas J. Jech (* 29. Januar 1944 in Prag) ist ein tschechischer Mathematiker, der sich vor allem mit axiomatischer Mengenlehre beschäftigt.

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Topologie (Mathematik)

Tasse und Volltorus sind zueinander homöomorph. ''Anmerkung'': Ein Homöomorphismus ist eine direkte Abbildung zwischen den Punkten der Tasse und des Volltorus, die Zwischenstufen im zeitlichen Verlauf dienen nur der Illustration der Stetigkeit dieser Abbildung. Die Topologie (von „Ort, Platz, Stelle“ und -logie) ist die Lehre von der Lage und Anordnung geometrischer Gebilde im Raum und damit ein fundamentales Teilgebiet der Mathematik.

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Topologischer Raum

Beispiele und Gegenbeispiele zu Topologien – die sechs Abbildungen stellen Teilmengen der Potenzmenge von 1,2,3 dar (der kleine Kreis links oben ist jeweils die leere Menge). Die ersten vier sind Topologien; im Beispiel unten links fehlt 2,3, unten rechts 2 zur Topologie-Eigenschaft. Ein topologischer Raum ist der grundlegende Gegenstand der Teildisziplin Topologie der Mathematik.

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Ultrafiltration

Die Ultrafiltration ist ein Filtrationsverfahren aus dem Bereich der Membrantechnik, mit dem sich makromolekulare Substanzen und kleine Partikel aus einem Medium abtrennen und konzentrieren lassen.

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Ultraprodukt

Ein Ultraprodukt ist ein Konstrukt auf dem Gebiet der Modelltheorie, einem Teilgebiet der Mathematik.

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Umgebung (Mathematik)

Eine Epsilon-Umgebung (\varepsilon) um die Zahl a, eingezeichnet auf der Zahlengeraden. Umgebung ist ein Begriff der Mathematik aus der Topologie, der in vielen Teilgebieten gebraucht wird.

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Umgebungssystem

Ein Umgebungssystem ist ein spezielles Mengensystem in der mengentheoretischen Topologie, einer Grundlagendisziplin der Mathematik.

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Universelle Algebra

Die universelle Algebra (auch allgemeine Algebra) ist ein Teilgebiet der Mathematik, genauer der Algebra, das sich mit allgemeinen algebraischen Strukturen und ihren Homomorphismen sowie gewissen Verallgemeinerungen befasst.

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Verband (Mathematik)

Ein Verband ist in der Mathematik eine Struktur, die sowohl als Ordnungsstruktur als auch als algebraische Struktur vollständig beschrieben werden kann.

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Leitet hier um:

Elementarfilter, Fixierter Ultrafilter, Freier Ultrafilter, Punktfilter, Ultrafilterlemma, Ultrafiltersatz von Tarski.

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