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Fakultät (Mathematik)

Index Fakultät (Mathematik)

Die Fakultät (manchmal, besonders in Österreich, auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik diejenige Funktion, die jeder natürlichen Zahl das Produkt aller positiven natürlichen Zahlen zuordnet, die diese Zahl nicht übertreffen.

73 Beziehungen: Abel-Plana-Summenformel, Abzählende Kombinatorik, Adrien-Marie Legendre, Ausrufezeichen, Barnessche G-Funktion, Bessel-Funktion, Bijektive Funktion, Bill Gosper, Binomialkoeffizient, Christian Goldbach, Christian Kramp, Debyesche Funktionen, Dezimalsystem, Dirichletsche Etafunktion, Dirichletsche Lambdafunktion, Elliptische Integrale, Elsass, Euler-Mascheroni-Konstante, Eulersche Zahl, Exponentialfunktion, Fallende und steigende Faktorielle, Fehlerintegral, Fixpunkt (Mathematik), Fixpunktfreie Permutation, Funktion (Mathematik), Gammafunktion, Geburtstagsparadoxon, Glatte Funktion, Gleitkommazahl, Harmonische Reihe, Hermann Kinkelin, IEEE 754, Institut de France, Integraltafel, Intel Pentium 4, Iteration, James Whitbread Lee Glaisher, K-Funktion, Karl Weierstraß, Kehrwert, Komplexe Zahl, Konstante von Glaisher-Kinkelin, Leere Menge, Leeres Produkt, Lemniskatische Konstante, Leonhard Euler, Logarithmische Ableitung, Logarithmus, Mathematik, Mersenne-Zahl, ..., Mittlerer Binomialkoeffizient, Moment (Stochastik), Natürliche Zahl, Normalverteilung, Notation, Permutation, Primfaktorzerlegung, Primorial, Primzahl, Produkt (Mathematik), Rekursion, Riemannsche Zeta-Funktion, Satz von Fubini, Selbstinverse Permutation, Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus, Sinus und Kosinus, Smarandache-Funktion, Spezielle Funktion, Stirlingformel, Subfakultät, Taylorreihe, Teilmenge, Wallissches Produkt. Erweitern Sie Index (23 mehr) »

Abel-Plana-Summenformel

Die Abel-Plana-Summenformel ist eine Summenformel, die unabhängig voneinander von Niels Henrik Abel (1823) und Giovanni Antonio Amedeo Plana (1820) entdeckt wurde.

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Abzählende Kombinatorik

Zahl der Variationen und Kombinationen von 10 Elementen zur k-ten Klasse und der partiellen Derangements (fixpunktfreie Permutationen) von 10 Elementen.'''P*(10;k)''' k-Permutationen oder Variationen mit Wiederholung'''P(10;k)''' k-Permutationen oder Variationen ohne Wiederholung'''K*(10;k)''' k-Kombinationen mit Wiederholung'''K(10;k)''' k-Kombinationen ohne Wiederholung'''D(10;10-k)''' partielle Derangements(bei denen nur k der 10 Elemente die Plätze wechseln) Die abzählende Kombinatorik ist ein Teilbereich der Kombinatorik.

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Adrien-Marie Legendre

karikiert von Julien Léopold Boilly Adrien-Marie Legendre (* 18. September 1752 in Paris; † 9. Januar 1833 ebenda) war ein französischer Mathematiker.

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Ausrufezeichen

Das Ausrufezeichen (auch bekannt als Ausrufzeichen oder Ausrufungszeichen, hauptsächlich in der Schweiz und vereinzelt in Deutschland) oder das Rufzeichen (vor allem in Österreich und Südtirol, manchmal auch als Rufezeichen bezeichnet), ist ein Satzzeichen, das nach Ausrufe-, Wunsch- und Aufforderungssätzen sowie nach Ausrufewörtern steht.

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Barnessche G-Funktion

Die Barnessche G-Funktion, typischerweise mit G(z) bezeichnet, ist eine Funktion, die eine Erweiterung der Superfakultäten auf die komplexen Zahlen darstellt.

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Bessel-Funktion

Als Bessel-Funktionen bezeichnet man Funktionen, welche Lösungen der besselschen Differentialgleichung sind, die eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung ist.

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Bijektive Funktion

Funktion Bijektivität (zum Adjektiv bijektiv, welches etwa ‚umkehrbar eindeutig auf‘ bedeutet – daher auch der Begriff eineindeutig bzw. substantivisch entsprechend Eineindeutigkeit) ist ein mathematischer Begriff aus dem Bereich der Mengenlehre.

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Bill Gosper

Bill Gosper R. William „Bill“ Gosper, Jr. (* 26. April 1943) ist ein US-amerikanischer Mathematiker und Programmierer.

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Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient ist eine mathematische Funktion, mit der sich eine der Grundaufgaben der Kombinatorik lösen lässt.

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Christian Goldbach

greg., in dem er die später nach ihm benannte Vermutung äußert.http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0765.pdf Originaltext des Briefes (pdf; 111 kB) Christian Goldbach (* 18. März 1690 in Königsberg (Preußen); † in Moskau) war ein deutscher Mathematiker.

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Christian Kramp

Christian Kramp (* 8. Juli 1760 in Straßburg; † 13. Mai 1826 ebenda) war ein elsässischer Arzt, Mathematiker und Physiker.

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Debyesche Funktionen

Die Debyeschen Funktionen sind eine Funktionsfamilie in der Mathematik.

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Dezimalsystem

Das Dezimalsystem (von mittellateinisch decimalis zu „zehn“) ist ein spezielles Zahlensystem, mit dem der Wert einer Zahl durch Zahlwörter und Zahlzeichen angegeben werden kann.

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Dirichletsche Etafunktion

komplexen Zahlenebene. In der analytischen Zahlentheorie ist die Dirichletsche η-Funktion eine spezielle Funktion, die nach dem deutschen Mathematiker Dirichlet (1805–1859) benannt ist.

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Dirichletsche Lambdafunktion

In der analytischen Zahlentheorie ist die dirichletsche Lambdafunktion eine spezielle Funktion, die nach dem deutschen Mathematiker Dirichlet (1805–1859) benannt ist.

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Elliptische Integrale

Ein elliptisches Integral ist ein Integral vom Typ wobei R eine rationale Funktion in zwei Variablen und P(x) ein Polynom dritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelle ist.

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Elsass

Das Elsass (in vor 1996 gültiger Schreibweise auch Elsaß, elsässisch ’s Elsàss, ’s Elses) ist eine Europäische Gebietskörperschaft in der Region Grand Est im Osten Frankreichs.

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Euler-Mascheroni-Konstante

Die Euler-Mascheroni-Konstante (nach den Mathematikern Leonhard Euler und Lorenzo Mascheroni), auch Eulersche Konstante, ist eine wichtige mathematische Konstante, die besonders in den Bereichen Zahlentheorie und Analysis auftritt.

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Eulersche Zahl

Die Eulersche Zahl, mit dem Symbol e bezeichnet, ist eine Konstante, die in der gesamten Analysis und allen damit verbundenen Teilgebieten der Mathematik, besonders in der Differential- und Integralrechnung, aber auch in der Stochastik (Kombinatorik, Normalverteilung) eine zentrale Rolle spielt.

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Exponentialfunktion

In der Mathematik bezeichnet man als Exponentialfunktion eine Funktion der Form x \mapsto a^x mit einer reellen Zahl a > 0\text a \neq 1 als Basis (Grundzahl).

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Fallende und steigende Faktorielle

Die fallende bzw.

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Fehlerintegral

Das gaußsche Fehlerintegral (nach Carl Friedrich Gauß) ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

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Fixpunkt (Mathematik)

Darstellung eines Fixpunktes. Dieser ist – nach den im Text wiedergegebenen Kriterien – ''anziehend'', das heißt ''stabil''. In der Mathematik versteht man unter einem Fixpunkt einen Punkt, der durch eine gegebene Abbildung auf sich abgebildet wird.

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Fixpunktfreie Permutation

Graph einer fixpunktfreien Permutation der Zahlen von 1 bis 8. Durch die Permutation wird keine der Zahlen festgehalten. Eine fixpunktfreie Permutation oder Derangement (von „durcheinanderbringen“) ist in der Kombinatorik eine Permutation der Elemente einer Menge, sodass kein Element seine Ausgangsposition beibehält.

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Funktion (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, x-Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, y-Wert) zuordnet.

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Gammafunktion

Graph der Gammafunktion im Reellen Komplexe Gammafunktion: Die Helligkeit entspricht dem Betrag, die Farbe dem Argument des Funktionswerts. Zusätzlich sind Höhenlinien konstanten Betrags eingezeichnet. Betrag der komplexen Gammafunktion Die Eulersche Gammafunktion, auch kurz Gammafunktion oder Eulersches Integral zweiter Gattung, ist eine der wichtigsten speziellen Funktionen und wird in den mathematischen Teilgebieten der Analysis und der Funktionentheorie untersucht.

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Geburtstagsparadoxon

Das Geburtstagsparadoxon, manchmal auch als Geburtstagsproblem bezeichnet, ist ein Beispiel dafür, dass bestimmte Wahrscheinlichkeiten (und auch Zufälle) intuitiv häufig falsch geschätzt werden: Zum falschen Schätzen der Wahrscheinlichkeit kommt es, weil im Geburtstagsparadoxon danach gefragt wird, wie wahrscheinlich es ist, dass zwei beliebige Personen aus einer Gruppe an ein und demselben beliebigen Tag im Jahr Geburtstag haben.

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Glatte Funktion

Eine glatte Funktion ist eine mathematische Funktion, die beliebig oft differenzierbar ist.

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Gleitkommazahl

Exakt darstellbare Gleitkomma­zahlen für verschiedene Mantissen­längen, Basis: 2, Exponent −3 bis 1 Eine Gleitkommazahl – wird in zwei Zusammenhängen benutzt.

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Harmonische Reihe

Die harmonische Reihe ist in der Mathematik die Reihe, die durch Summation der Glieder 1, \tfrac, \tfrac, \tfrac, \tfrac, \dotsc der harmonischen Folge entsteht.

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Hermann Kinkelin

Hermann Kinkelin Familiengrab auf dem Friedhof am Hörnli, Riehen, Basel-Stadt Georg David Hermann Kinkelin (* 11. November 1832 in Bern; † 2. Januar 1913 in Basel) war ein deutsch-schweizerischer Mathematiker und Politiker.

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IEEE 754

Die Norm IEEE 754 definiert Standarddarstellungen für binäre und dezimale Gleitkommazahlen in Computern und legt genaue Verfahren für die Durchführung mathematischer Operationen, insbesondere für Rundungen, fest.

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Institut de France

Institut de France Institut de France von der ''Pont des Arts'' aus gesehen Eingang zum Institut de France Kuppel des Institut de France Das Institut de France ist eine wissenschaftliche Vereinigung in Frankreich mit Sitz im Collège des Quatre Nations in Paris.

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Integraltafel

Integraltafel vonMeier Hirsch, 1810 Integraltafel vonFerdinand Minding, 1849 Gradshteyn-Ryzhik7. Aufl. 2007 Eine Integraltafel ist ein Druckwerk oder eine Datei, in der die Integrale von zahlreichen Funktionen, in der Regel von Funktionen einer Veränderlichen, tabellarisch zusammengestellt sind.

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Intel Pentium 4

Intel Pentium 4 ist ein Markenname für eine Reihe von Mikroprozessoren der siebten x86-Generation.

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Iteration

Iteration (von,wiederholen‘) beschreibt allgemein einen Prozess mehrfachen Wiederholens gleicher oder ähnlicher Handlungen zur Annäherung an eine Lösung oder ein bestimmtes Ziel.

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James Whitbread Lee Glaisher

J. W. L. Glaisher, 1908 James Whitbread Lee Glaisher (* 5. November 1848 in Lewisham, Kent; † 7. Dezember 1928 in Cambridge) war ein englischer Mathematiker und Astronom.

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K-Funktion

Die K-Funktion ist in der Mathematik eine spezielle Mathematik, die üblicherweise mit K(z) bezeichnet wird.

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Karl Weierstraß

Karl Weierstraß Gedenktafel in Erinnerung an seine Geburtsstätte in Ostenfelde Karl Weierstraß ist auf der Ehrentafel ehemaliger Schüler des Gymnasiums Theodorianum in Paderborn genannt. (linke Seite, zweiter Name von oben) Karl Weierstraß auf der Ehrentafel Lyceum Hosianum in Braniewo Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (* 31. Oktober 1815 in Ostenfelde bei Ennigerloh, Münsterland; † 19. Februar 1897 in Berlin) war ein deutscher Mathematiker, der sich vor allem um die logisch fundierte Aufarbeitung der Analysis verdient gemacht hat.

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Kehrwert

Der Kehrwert (auch der reziproke Wert oder das Reziproke) einer von 0 verschiedenen Zahl x ist in der Arithmetik diejenige Zahl, die mit x multipliziert die Zahl 1 ergibt; er wird als \tfrac oder x^ notiert.

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Komplexe Zahl

natürlichen Zahlen \N gehören. Die komplexen Zahlen stellen eine Erweiterung der reellen Zahlen dar.

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Konstante von Glaisher-Kinkelin

Die Konstante von Glaisher-Kinkelin, oft auch nur glaishersche Konstante, ist eine mathematische Konstante, die in einigen Summen und Integralen auftritt, vor allem im Zusammenhang mit der Gammafunktion und der riemannschen Zetafunktion.

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Leere Menge

Die leere Menge ist ein grundlegender Begriff aus der Mengenlehre.

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Leeres Produkt

Das leere Produkt ist in der Mathematik der Sonderfall eines Produktes mit null Faktoren.

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Lemniskatische Konstante

Die lemniskatische Konstante ist eine 1798 von Carl Friedrich Gauß eingeführte mathematische Konstante.

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Leonhard Euler

rahmenlos Leonhard Euler (* 15. April 1707 in Basel; † in Sankt Petersburg) war ein Schweizer Mathematiker, Physiker, Astronom, Geograph, Logiker und Ingenieur.

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Logarithmische Ableitung

In der Analysis ist die logarithmische Ableitung \operatorname(f) einer differenzierbaren Funktion f, die keine Nullstellen besitzt, als der Quotient der Ableitung einer Funktion und der Funktion selbst definiert; formal Auf gleiche Weise lässt sich der Begriff auch für von Null verschiedene meromorphe Funktionen definieren (hier brauchen keine Nullstellen ausgeschlossen zu werden, weil der Quotient für meromorphe Funktionen wohldefiniert ist).

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Logarithmus

Logarithmische Skaleneinteilung eines Rechenschiebers (Detail) e (rot) und 1/2 (blau) Logarithmus zur Basis 10. Als Logarithmus (Plural: Logarithmen; von, „Verständnis, Lehre, Verhältnis“, und ἀριθμός, arithmós, „Zahl“) einer Zahl bezeichnet man den Exponenten, mit dem eine vorher festgelegte Zahl, die Basis, potenziert werden muss, um die gegebene Zahl, den Numerus, zu erhalten.

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Mathematik

Die Mathematik (bundesdeutsches Hochdeutsch:,; österreichisches Hochdeutsch:; mathēmatikē téchnē ‚die Kunst des Lernens‘) ist eine Formalwissenschaft, die aus der Untersuchung von geometrischen Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstand.

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Mersenne-Zahl

UIUC von Donald B. Gillies gefunden wurde Eine Mersenne-Zahl ist eine Zahl der Form 2^n - 1.

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Mittlerer Binomialkoeffizient

Ein Mittlerer Binomialkoeffizient oder auch Zentralbinomialkoeffizient ist ein in der mittigsten Spalte des Pascalschen Dreieckes vorhandener Binomialkoeffizient.

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Moment (Stochastik)

Momente von Zufallsvariablen sind Parameter der deskriptiven Statistik und spielen eine Rolle in der Stochastik.

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Natürliche Zahl

reellen Zahlen (ℝ) sind. Die natürlichen Zahlen sind die beim Zählen verwendeten Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 usw.

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Normalverteilung

Die Normal- oder Gauß-Verteilung (nach Carl Friedrich Gauß) ist in der Stochastik ein wichtiger Typ stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

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Notation

Notation ist die Benennung von Gegenständen durch das Festhalten (qualitative und quantitative Repräsentation) von Dingen und Bewegungsverläufen in schriftlicher Form mit vereinbarten symbolischen Zeichen.

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Permutation

Alle sechs Permutationen dreier verschiedenfarbiger Kugeln Unter einer Permutation (von) versteht man in der Kombinatorik eine Anordnung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge.

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Primfaktorzerlegung

Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer positiven natürlichen Zahl n\in\N als Produkt aus Primzahlen p\in\mathbb P, die dann als Primfaktoren von n bezeichnet werden.

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Primorial

Mit Primorial (von englisch primorial), oder Primfakultät, bezeichnet man das Produkt aller Primzahlen, die eine bestimmte Zahl nicht übersteigen.

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Primzahl

Natürliche Zahlen von 0 bis 100, die Primzahlen sind rot markiert Eine Primzahl (von) ist eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat (und somit größer als 1 ist).

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Produkt (Mathematik)

Unter einem Produkt versteht man das Ergebnis einer Multiplikation sowie auch einen Term, der eine Multiplikation darstellt.

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Rekursion

Unendlichfache Spiegelung als Beispiel für '''Rekursion''': Die Person sitzt mit vorgehaltenem Spiegel einem größeren Wandspiegel gegenüber. Das jeweils folgende Spiegelbild enthält sich selbst als Teil. Als Rekursion wird ein prinzipiell unendlicher Vorgang, der sich selbst als Teil enthält oder mithilfe von sich selbst definierbar ist, bezeichnet.

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Riemannsche Zeta-Funktion

Funktionsgraph der Zeta-Funktion für reelle Argumente im Bereich −20 komplexen Ebene: Die Null, also der Ursprung der komplexen Ebene, befindet sich genau in der Mitte des Schaubildes. Die im Bild sichtbaren, sogenannten nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion liegen auf der nicht eingezeichneten, vertikalen Linie durch 0,5. Sie sind als schwarze Punkte auf dieser gedachten Linie erkennbar und spiegelsymmetrisch zur reellen Achse, also zur horizontalen Linie durch den Ursprung, angeordnet. Das Schaubild besitzt einen einzigen rein weißen Punkt. Dieser gehört zur einzigen Polstelle der Zeta-Funktion in 1, also zu demjenigen Punkt, der sich eine Einheit rechts vom Ursprung befindet und in dem die Zeta-Funktion nicht definiert ist. Die sogenannten trivialen Nullstellen liegen auf dem linken Teil der reellen Achse, nämlich in −2, −4, −6, −8 … Die Riemannsche Zeta-Funktion, auch Riemannsche ζ-Funktion oder Riemannsche Zetafunktion (nach Bernhard Riemann), ist eine komplexwertige, spezielle mathematische Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielt.

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Satz von Fubini

Der Satz von Fubini ist ein Satz in der Integralrechnung.

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Selbstinverse Permutation

Graph einer selbstinversen Permutation der Zahlen von 1 bis 8. Die Permutation besteht nur aus Zyklen der Länge 1 oder 2. Eine selbstinverse oder involutorische Permutation ist in der Kombinatorik und der Gruppentheorie eine Permutation, die gleich ihrer Inversen ist.

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Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus

animierte Version mit Vergleich zu den Trigonometrischen (zirkulären) Funktionen.) Die Hyperbel wird auch als ''Einheitshyperbel'' bezeichnet. Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus sind mathematische Hyperbelfunktionen, auch Hyperbelsinus bzw.

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Sinus und Kosinus

Werte von −1 bis 1 an. Sinus- und Kosinusfunktion (auch Cosinusfunktion) sind elementare mathematische Funktionen.

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Smarandache-Funktion

In der Mathematik ist die Smarandache-Funktion eine Folge bzw.

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Spezielle Funktion

In der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet man gewisse Funktionen als spezielle Funktionen.

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Stirlingformel

Die Fakultät und die Stirlingformel Die Stirling-Formel ist eine mathematische Formel, mit der man für große Fakultäten Näherungswerte berechnen kann.

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Subfakultät

Die Subfakultät ist eine vornehmlich in der Kombinatorik auftretende Funktion.

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Taylorreihe

Approximation von ln(''x'') durch Taylorpolynome der Grade 1, 2, 3 bzw. 10 um die Entwicklungsstelle 1. Die Polynome konvergieren nur im Intervall (0, 2]. Der Konvergenzradius ist also 1. Animation zur Approximation ln(1+''x'') an der Stelle ''x''.

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Teilmenge

Mengendiagramm: ''A'' ist eine (echte) Teilmenge von ''B''. Die mathematischen Begriffe Teilmenge und Obermenge beschreiben eine Beziehung zwischen zwei Mengen.

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Wallissches Produkt

Das wallissche Produkt, auch Wallis-Produkt, ist eine Produktdarstellung der Kreiszahl \pi, das heißt, es handelt sich um ein Produkt mit unendlich vielen Faktoren, dessen Grenzwert \pi ist.

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Leitet hier um:

Doppelfakultät, Fakultätsfunktion, Gaußsche Pifunktion, Hyperfakultät, N!, Superfakultät.

AusgehendeEingehende
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