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Bernoulli-Zahl

Index Bernoulli-Zahl

Die Bernoulli-Zahlen oder Bernoullischen Zahlen, 1, ±,, 0, −, … sind eine Folge rationaler Zahlen, die in der Mathematik in verschiedenen Zusammenhängen auftreten: in den Entwicklungskoeffizienten trigonometrischer, hyperbolischer und anderer Funktionen, in der Euler-Maclaurin-Formel und in der Zahlentheorie in Zusammenhang mit der Riemannschen Zetafunktion.

68 Beziehungen: Abraham de Moivre, Ada Lovelace, Alternierende Permutation, Asymptotische Analyse, Bernhard Schiekel, Ernst Eduard Kummer, Euler-Maclaurin-Formel, Euler-Produkt, Eulersche Zahlen, Exponentialfunktion, Faulhabersche Formel, Folge (Mathematik), Funktion (Mathematik), Gammafunktion, Gradshteyn-Ryzhik, Großer Fermatscher Satz, Hyperbel (Mathematik), Igor Rostislawowitsch Schafarewitsch, Integraltafel, Jakob I Bernoulli, Jürgen Neukirch, John Horton Conway, Jonathan Borwein, Julia (Programmiersprache), Julius Worpitzky, Karl von Staudt, Klassenzahl, Kleiner fermatscher Satz, Kohomologie, Konvergenzradius, Kreisteilungskörper, Mannigfaltigkeit, Mathematik, Michael Rosen (Mathematiker), Multiplikatives Geschlecht, Natürliche Zahl, Nullstellenmenge, Orientierung (Mathematik), Peter Borwein, Postum, Potenz (Mathematik), Primzahl, Project Gutenberg, Rationale Zahl, Regel von de L’Hospital, Reguläre Primzahl, Reihenentwicklung, Rekursion, Richard Kenneth Guy, Riemannsche Zeta-Funktion, ..., Sekans und Kosekans, Senon Iwanowitsch Borewitsch, Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus, Sinus und Kosinus, Stirling-Zahl, Stirlingformel, Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus, Tangens und Kotangens, Taylorreihe, Thomas Clausen (Astronom), Todd-Klasse, Topologischer Raum, Trigamma-Funktion, Trigonometrie, Uneigentliches Integral, Vektorbündel, Vorzeichen (Zahl), Zahlentheorie. Erweitern Sie Index (18 mehr) »

Abraham de Moivre

Abraham de Moivre Abraham de Moivre (* 26. Mai 1667 in Vitry-le-François; † 27. November 1754 in London) war ein französischer Mathematiker, der vor allem für den Satz von Moivre bekannt ist.

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Ada Lovelace

150px Augusta Ada King-Noel, Countess of Lovelace, allgemein als Ada Lovelace bzw.

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Alternierende Permutation

Grafische Darstellung aller Up-Down-Permutationen der Länge fünf, angefangen mit der Permutation (1,3,2,5,4) (oben links) und endend mit der Permutation (4,5,2,3,1) (unten rechts). Eine alternierende Permutation (auch Zickzack-Permutation genannt) ist in der Kombinatorik eine Permutation der ersten n natürlichen Zahlen, bei der keine Zahl der Größe nach zwischen der vorangehenden und der nachfolgenden Zahl steht.

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Asymptotische Analyse

In der Mathematik und ihren Anwendungen bezeichnet asymptotische Analyse (auch asymptotische Analysis) einerseits eine Methode, um das Grenzverhalten von Funktionen oder Folgen zu klassifizieren, indem man nur den wesentlichen Trend des Grenzverhaltens beschreibt, andererseits aber auch die zugrundeliegende Theorie als Ganzes.

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Bernhard Schiekel

Bernhard Schiekel, 2015 Bernhard Schiekel (* Dezember 1950 in Darmstadt) ist ein deutscher theoretischer Physiker und Übersetzer buddhistischer Meditationstexte und Gedichte.

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Ernst Eduard Kummer

Kummer in den 1870er Jahren. Ernst Eduard Kummer (* 29. Januar 1810 in Sorau, Niederlausitz; † 14. Mai 1893 in Berlin) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer, der sich vor allem mit Zahlentheorie, Analysis und Geometrie befasste.

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Euler-Maclaurin-Formel

Die Euler-Maclaurin-Formel oder Eulersche Summenformel (nach Leonhard Euler (1707–1783) und Colin Maclaurin (1698–1746)) ist eine mathematische Formel zur Berechnung einer Summe von Funktionswerten durch die Werte der Ableitungen dieser Funktion an den Summationsgrenzen – so ist Euler auf sie gestoßen.

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Euler-Produkt

Das Euler-Produkt ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis und insbesondere der Zahlentheorie.

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Eulersche Zahlen

Die Eulerschen Zahlen oder manchmal auch Euler-Zahlen (nach Leonhard Euler) sind eine Folge E_n ganzer Zahlen, die durch die Taylorentwicklung der Hyperbelfunktion Secans hyperbolicus definiert sind.

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Exponentialfunktion

In der Mathematik bezeichnet man als Exponentialfunktion eine Funktion der Form x \mapsto a^x mit einer reellen Zahl a > 0\text a \neq 1 als Basis (Grundzahl).

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Faulhabersche Formel

Die Faulhabersche Formel beschreibt, wie sich die Summe der ersten n k-ten Potenzen mit einem Polynom P_(n) in n vom Grad k+1 berechnen lässt.

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Folge (Mathematik)

Als Folge oder Sequenz wird in der Mathematik eine Auflistung (Familie) von endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten (beispielsweise Zahlen) bezeichnet.

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Funktion (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, x-Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, y-Wert) zuordnet.

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Gammafunktion

Graph der Gammafunktion im Reellen Komplexe Gammafunktion: Die Helligkeit entspricht dem Betrag, die Farbe dem Argument des Funktionswerts. Zusätzlich sind Höhenlinien konstanten Betrags eingezeichnet. Betrag der komplexen Gammafunktion Die Eulersche Gammafunktion, auch kurz Gammafunktion oder Eulersches Integral zweiter Gattung, ist eine der wichtigsten speziellen Funktionen und wird in den mathematischen Teilgebieten der Analysis und der Funktionentheorie untersucht.

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Gradshteyn-Ryzhik

Gradshteyn-Ryzhik. 5. Auflage 1994 Gradshteyn-Ryzhik. 7. Auflage 2007 Der Gradshteyn-Ryzhik (GR) ist eine umfangreiche Integraltafel.

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Großer Fermatscher Satz

Pierre de Fermat Der Große Fermatsche Satz besagt, dass die n-te Potenz einer positiven ganzen Zahl nicht in die Summe zweier ebensolcher Potenzen zerlegt werden kann, wenn n größer als 2 ist: wobei n,\ a,\ b,\ c positive ganze Zahlen sind.

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Hyperbel (Mathematik)

Hyperbel mit Mittelpunkt M, Brennpunkten F_1 und F_2, Scheitelpunkten S_1 und S_2, Asymptoten (grün) In der ebenen Geometrie versteht man unter einer Hyperbel eine spezielle Kurve, die aus zwei zueinander symmetrischen, sich ins Unendliche erstreckenden Ästen besteht.

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Igor Rostislawowitsch Schafarewitsch

Igor Schafarewitsch (undatiert) Igor Rostislawowitsch Schafarewitsch (auch Igor Shafarevich;, wiss. Transliteration Igor' Rostislavovič Šafarevič; * 3. Juni 1923 in Schitomir, Ukrainische SSR; † 19. Februar 2017 in Moskau) war ein führender russischer Mathematiker, der vor allem in den Bereichen Zahlentheorie, Algebra und algebraische Geometrie arbeitete.

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Integraltafel

Integraltafel vonMeier Hirsch, 1810 Integraltafel vonFerdinand Minding, 1849 Gradshteyn-Ryzhik7. Aufl. 2007 Eine Integraltafel ist ein Druckwerk oder eine Datei, in der die Integrale von zahlreichen Funktionen, in der Regel von Funktionen einer Veränderlichen, tabellarisch zusammengestellt sind.

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Jakob I Bernoulli

Jakob Bernoulli Jakob I Bernoulli (* in Basel; † 16. August 1705 ebenda) war ein Schweizer Mathematiker und Physiker.

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Jürgen Neukirch

Jürgen Neukirch (* 24. Juli 1937 in Dortmund; † 5. Februar 1997 in Regensburg) war ein deutscher Mathematiker, der sich mit algebraischer Zahlentheorie beschäftigte.

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John Horton Conway

John Horton Conway 2005 Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1987 in Berlin Conway (rechts) führt seinen Kollegen Erik Demaine, Martin Demaine und Bill Spight (von links) einen Kartentrick vor, Banff International Research Station 2005 Conway (links) mit der Mathematikerin Larissa Queen John Horton Conway (* 26. Dezember 1937 in Liverpool, Vereinigtes Königreich; † 11. April 2020 in New Brunswick, New Jersey, Vereinigte Staaten)Matt Baker: John Horton Conway (1937–2020). In: Science. 368, 2020, S. 831,.

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Jonathan Borwein

Jonathan Michael Borwein (* 20. Mai 1951 in St. Andrews in Schottland; † 2. August 2016 in London, Ontario) war ein kanadischer Mathematiker.

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Julia (Programmiersprache)

Julia ist eine höhere Programmiersprache, die vor allem für numerisches und wissenschaftliches Rechnen entwickelt wurde und auch als Allzweck-Programmiersprache verwendet werden kann, bei gleichzeitiger Wahrung einer hohen Ausführungsgeschwindigkeit.

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Julius Worpitzky

Julius Daniel Theodor Worpitzky (* 10. Mai 1835 in Karlsburg, Kreis Greifswald; † 4. März 1895 in Berlin) war ein deutscher Mathematiker.

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Karl von Staudt

Porträtaufnahme Karl Georg Christian von Staudt (* 24. Januar 1798 in Rothenburg ob der Tauber; † 1. Juni 1867 in Erlangen) war ein deutscher Mathematiker.

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Klassenzahl

Sei K ein algebraischer Zahlkörper.

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Kleiner fermatscher Satz

Der kleine fermatsche Satz, kurz „der kleine Fermat“, ist ein Lehrsatz der Zahlentheorie.

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Kohomologie

Kohomologie ist ein mathematisches Konzept, das in vielen Teilbereichen zum Einsatz kommt, ursprünglich in der algebraischen Topologie.

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Konvergenzradius

Der Konvergenzradius ist in der Analysis eine Eigenschaft einer Potenzreihe der Form die angibt, in welchem Bereich der reellen Gerade oder der komplexen Ebene für die Potenzreihe Konvergenz garantiert ist.

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Kreisteilungskörper

Kreisteilungskörper (auch: zyklotomische Körper) sind Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie.

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Mannigfaltigkeit

Die Sphäre kann mit mehreren Abbildungen „plattgedrückt“ werden. Entsprechend kann die Erdoberfläche in einem Atlas dargestellt werden. Unter einer Mannigfaltigkeit versteht man in der Mathematik einen topologischen Raum, der lokal dem euklidischen Raum \mathbb^n gleicht.

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Mathematik

Die Mathematik (bundesdeutsches Hochdeutsch:,; österreichisches Hochdeutsch:; mathēmatikē téchnē ‚die Kunst des Lernens‘) ist eine Formalwissenschaft, die aus der Untersuchung von geometrischen Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstand.

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Michael Rosen (Mathematiker)

Michael Ira Rosen (* 7. März 1938 in Brooklyn, New York) ist ein US-amerikanischer Mathematiker, der sich mit algebraischer Zahlentheorie, arithmetischer Theorie von Funktionenkörpern und arithmetischer algebraischer Geometrie beschäftigt.

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Multiplikatives Geschlecht

Ein multiplikatives Geschlecht auch Hirzebruch-Geschlecht ist ein Objekt der Mathematik.

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Natürliche Zahl

reellen Zahlen (ℝ) sind. Die natürlichen Zahlen sind die beim Zählen verwendeten Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 usw.

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Nullstellenmenge

Eine Nullstellenmenge ist eine Teilmenge des Definitionsbereiches einer Funktion und enthält alle Argumente, die auf die Null abgebildet werden.

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Orientierung (Mathematik)

Die Orientierung ist ein Begriff aus der linearen Algebra und der Differentialgeometrie.

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Peter Borwein

Peter Benjamin Borwein (* 10. Mai 1953 in St Andrews; † 23. August 2020 in Burnaby) war ein kanadischer Mathematiker, der als Mit-Entdecker der Bailey-Borwein-Plouffe-Formel (nach D. Bailey, P. Borwein und S. Plouffe) zur Berechnung einer beliebigen hexadezimalen Stelle von π (ohne Kenntnis vorheriger Ziffern) bekannt wurde.

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Postum

Das Wort postum oder posthum („nach dem Tod“) wird als Adjektiv oder Adverb für ein Ereignis eine Person betreffend verwendet, das ungewöhnlicherweise erst nach deren Tod eintritt.

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Potenz (Mathematik)

Die Schreibweise einer Potenz: \textPotenzwert.

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Primzahl

Natürliche Zahlen von 0 bis 100, die Primzahlen sind rot markiert Eine Primzahl (von) ist eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat (und somit größer als 1 ist).

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Project Gutenberg

Das Project Gutenberg (PG) ist eine über das Internet zugängliche und von Ehrenamtlichen erstellte freie digitale Bibliothek.

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Rationale Zahl

natürlichen Zahlen (ℕ) gehören. Eine rationale Zahl ist eine reelle Zahl, die als Verhältnis zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann.

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Regel von de L’Hospital

Mit der Regel von de L’Hospital (gesprochen) lassen sich Grenzwerte von Funktionen, die sich als Quotient zweier gegen Null konvergierender oder bestimmt divergierender Funktionen schreiben lassen, mithilfe der ersten Ableitungen dieser Funktionen berechnen.

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Reguläre Primzahl

In der Zahlentheorie heißt eine Primzahl regulär, wenn sie bestimmte Zahlen nicht teilt.

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Reihenentwicklung

Eine Reihenentwicklung ist eine Technik aus der Mathematik, die insbesondere in den Teilgebieten Analysis und Funktionentheorie von Bedeutung ist, aber auch in anderen mathematischen Disziplinen sowie in der Physik und in anderen naturwissenschaftlichen und ingenieurwissenschaftlichen Bereichen angewendet wird.

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Rekursion

Unendlichfache Spiegelung als Beispiel für '''Rekursion''': Die Person sitzt mit vorgehaltenem Spiegel einem größeren Wandspiegel gegenüber. Das jeweils folgende Spiegelbild enthält sich selbst als Teil. Als Rekursion wird ein prinzipiell unendlicher Vorgang, der sich selbst als Teil enthält oder mithilfe von sich selbst definierbar ist, bezeichnet.

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Richard Kenneth Guy

Richard Kenneth Guy, 2005 Richard Kenneth Guy (* 30. September 1916 in Nuneaton, Warwickshire; † 9. März 2020 in Calgary) war ein britisch-kanadischer Mathematiker.

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Riemannsche Zeta-Funktion

Funktionsgraph der Zeta-Funktion für reelle Argumente im Bereich −20 komplexen Ebene: Die Null, also der Ursprung der komplexen Ebene, befindet sich genau in der Mitte des Schaubildes. Die im Bild sichtbaren, sogenannten nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion liegen auf der nicht eingezeichneten, vertikalen Linie durch 0,5. Sie sind als schwarze Punkte auf dieser gedachten Linie erkennbar und spiegelsymmetrisch zur reellen Achse, also zur horizontalen Linie durch den Ursprung, angeordnet. Das Schaubild besitzt einen einzigen rein weißen Punkt. Dieser gehört zur einzigen Polstelle der Zeta-Funktion in 1, also zu demjenigen Punkt, der sich eine Einheit rechts vom Ursprung befindet und in dem die Zeta-Funktion nicht definiert ist. Die sogenannten trivialen Nullstellen liegen auf dem linken Teil der reellen Achse, nämlich in −2, −4, −6, −8 … Die Riemannsche Zeta-Funktion, auch Riemannsche ζ-Funktion oder Riemannsche Zetafunktion (nach Bernhard Riemann), ist eine komplexwertige, spezielle mathematische Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielt.

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Sekans und Kosekans

Definitionen am Einheitskreis\overlineOT.

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Senon Iwanowitsch Borewitsch

Senon Iwanowitsch Borewitsch (englische Transkription Zenon Ivanovich Borevich; polnisch Borewicz, * 7. November 1922 in Susly, Oblast Schytomyr; † 26. Februar 1995) war ein russischer Mathematiker, der sich mit Zahlentheorie und Algebra beschäftigte.

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Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus

animierte Version mit Vergleich zu den Trigonometrischen (zirkulären) Funktionen.) Die Hyperbel wird auch als ''Einheitshyperbel'' bezeichnet. Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus sind mathematische Hyperbelfunktionen, auch Hyperbelsinus bzw.

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Sinus und Kosinus

Werte von −1 bis 1 an. Sinus- und Kosinusfunktion (auch Cosinusfunktion) sind elementare mathematische Funktionen.

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Stirling-Zahl

Die Stirling-Zahlen erster und zweiter Art, benannt nach James Stirling, werden in der Kombinatorik und der theoretischen Informatik verwendet.

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Stirlingformel

Die Fakultät und die Stirlingformel Die Stirling-Formel ist eine mathematische Formel, mit der man für große Fakultäten Näherungswerte berechnen kann.

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Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus

Graph des Tangens hyperbolicus Graph des Kotangens hyperbolicus Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus sind Hyperbelfunktionen.

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Tangens und Kotangens

Schaubild der Tangensfunktion (Argument ''x'' im Bogenmaß) Schaubild der Kotangensfunktion (Argument ''x'' im Bogenmaß) Tangens und Kotangens sind trigonometrische Funktionen und spielen in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten eine herausragende Rolle.

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Taylorreihe

Approximation von ln(''x'') durch Taylorpolynome der Grade 1, 2, 3 bzw. 10 um die Entwicklungsstelle 1. Die Polynome konvergieren nur im Intervall (0, 2]. Der Konvergenzradius ist also 1. Animation zur Approximation ln(1+''x'') an der Stelle ''x''.

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Thomas Clausen (Astronom)

Thomas Clausen Thomas Clausen (* 16. Januar 1801 in Snogbæk, Gemeinde Sottrup, Herzogtum Schleswig (heute Dänemark); † in Dorpat) war ein dänischer (schleswigscher) Astronom und Mathematiker.

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Todd-Klasse

Die Todd-Klasse ist eine Konstruktion aus der algebraischen Topologie der charakteristischen Klassen.

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Topologischer Raum

Beispiele und Gegenbeispiele zu Topologien – die sechs Abbildungen stellen Teilmengen der Potenzmenge von 1,2,3 dar (der kleine Kreis links oben ist jeweils die leere Menge). Die ersten vier sind Topologien; im Beispiel unten links fehlt 2,3, unten rechts 2 zur Topologie-Eigenschaft. Ein topologischer Raum ist der grundlegende Gegenstand der Teildisziplin Topologie der Mathematik.

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Trigamma-Funktion

In der Mathematik ist die Trigamma-Funktion die zweite Polygammafunktion; die erste Polygammafunktion ist die Digammafunktion \psi.

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Trigonometrie

Abbildungen zur Trigonometrie in einem Buch aus dem Jahr 1687 Die Trigonometrie (‚Dreieck‘ und métron ‚Maß‘) ist ein Teilgebiet der Geometrie und somit der Mathematik.

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Uneigentliches Integral

Ein uneigentliches Integral ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis.

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Vektorbündel

Tangentialräume. Die zweite Grafik fasst die Tangentialräume zum Tangentialbündel, einem besonderen Vektorbündel zusammen. Vektorbündel oder manchmal auch Vektorraumbündel sind Familien von Vektorräumen, die durch die Punkte eines topologischen Raumes parametrisiert sind.

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Vorzeichen (Zahl)

Ein Vorzeichen oder Signum (von signum Zeichen) ist ein Zeichen, das einer reellen Zahl vorangestellt wird, um sie als positiv oder negativ auszuweisen.

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Zahlentheorie

Die Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit den Eigenschaften von Zahlen und Zahlbereichen beschäftigt.

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Leitet hier um:

Bernoulli-Polynom, Bernoulli-Polynome, Bernoulli-Zahlen, Bernoullipolynom, Bernoullische Zahl, Bernoullische Zahlen, Bernoullisches Polynom, Bernoullizahl, Bernoullizahlen.

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